AMC 10 · 2008 · #21

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

permutations-basicsymmetry-argumentpair-counting caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다섯 수를 한 줄로 쓰고, 앞의 둘의 합이 뒤의 둘의 합보다 작으면 조건을 만족한다. 그런 배열의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

heavy-tailed인 배열을 하나씩 세면 120개를 다 확인해야 하지만, 작다·같다·크다 세 부류는 서로 독립이 아니다. 앞 쌍과 뒤 쌍을 통째로 맞바꾸면 작다인 배열이 크다인 배열로, 다시 되돌리면 원래대로 돌아온다. 이 짝짓기가 바깥 두 부류의 크기를 같게 만들어 주므로, 문제는 두 합이 같아지는 작은 가운데 부류만 세는 일로 줄어든다. 그리고 합이 15라는 사실을 쓰면 가운데 항으로 가능한 값이 먼저 걸러져서, 같은 경우를 세는 일은 짧고 유한한 나열로 끝난다.

1STEP 1

120개 배열을 세 부류로 나누기

모든 배열이 세 부류 중 하나에 들어간다.

L + E + G = 5! = 120

2STEP 2

양 끝을 맞바꿔 L과 G 짝짓기

양 끝을 맞바꾸면 첫 부류와 마지막 부류의 크기가 같아진다.

(a₁,a₂,a₃,a₄,a₅) ⟼ (a₄,a₅,a₃,a₁,a₂) ⟹ L = G

3STEP 3

합 15로 가운데 항 좁히기

전체 합이 가운데 항을 홀수로 만든다.

2s + a₃ = 15 ⟹ a₃ = 15 - 2s 는 홀수 ⟹ a₃ ∈ {1,3,5}

4STEP 4

합이 같은 쌍 나누기 나열하기

합이 같은 나누기를 나열하면 셋뿐이다.

{2,5} | {3,4}, {1,5} | {2,4}, {1,4} | {2,3}

5STEP 5

각 나누기를 배열 개수로 바꾸기

각 나누기가 여러 배열을 만든다.

E = 3 · (2 · 2 · 2) = 24

6STEP 6

L을 구하고 답 고르기

같은 경우를 빼고 반으로 나누면 48, 보기 (C).

2L = 120 - 24 = 96 ⟹ L = 96/2 = 48

정답

48은 120의 절반보다 작은데, 이는 타당하다. 같은 경우 24개를 먼저 덜어낸 뒤 나머지가 반씩 갈리므로 바깥 두 무더기는 60에 이를 수 없다. 또 24보다는 훨씬 크므로 같아지는 경우가 드물다는 사실과도 맞는다. 가운데 항으로 다시 세어 봐도 결과가 일치한다. a₃을 고정하고 남은 네 수를 두 쌍으로 나누는 3가지를 보면, 두 합이 다른 나누기는 heavy-tailed 배열을 정확히 4개 준다. 합이 작은 쌍이 반드시 앞에 와야 하고, 두 쌍은 각각 2가지로 늘어놓을 수 있기 때문이다. a₃이 홀수면 나누기 하나가 균형이라 아무것도 주지 않으므로 4 · 2 = 8개, a₃이 짝수면 균형인 나누기가 없으므로 4 · 3 = 12개다. a₃ = 1,2,3,4,5에 대해 8, 12, 8, 12, 8이고 합은 48이므로 (D)가 확인된다.

💡핵심 정리

두 경우가 서로 거울처럼 대칭이면, 가운데에 낀 경우만 세고 나머지는 빼기로 얻으면 된다.

120개 배열을 세 부류로 나누기
양 끝을 맞바꿔 L과 G 짝짓기
합 15로 가운데 항 좁히기
합이 같은 쌍 나누기 나열하기
각 나누기를 배열 개수로 바꾸기
L을 구하고 답 고르기