AMC 10 · 2008 · #24

사슬은 무한하므로 삼각형을 하나씩 끝없이 계산할 수는 없다. 목표는 A₀A_n 의 식이어야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)가 틀을 준다. A_n=(x_n,0)이라 쓰고 n 번째 변을 s_n 이라 두면, 낯선 두 조건이 계산으로 무너진다. '밑변이 x 축 위인 정삼각형'은 꼭대기 꼭짓점을 밑변의 중점 바로 위, 높이 √(3)/2s_n 에 못박고(도구 #1, 그림 그리기), '꼭대기가 y=√(x) 위'는 y ≥ 0 인 y²=x 일 뿐이다. 둘을 합치면 한 단계마다 이차방정식 하나가 나온다. 그런데 이 이차방정식은 두 가지로 읽힌다. A_n 이 A_n-1의 어느 쪽에 놓이는지가 정해지지 않았기 때문인데, 빠른 풀이가 속임수를 쓰는 지점이 바로 여기다. 오른쪽으로 나아가는 그림을 그려 놓고 왼쪽이 불가능함을 확인하지 않는 것이다. 도구 #3(가능성 지우기)이 그 구멍을 막는다. 그리고 구멍이 막히는 근거가 B_n 들이 서로 다르다는 조건이므로, 이 논증은 손짓이 아니라 실제로 해야 한다. 남는 것은 제곱근을 품은 점화식인데 그대로 반복하기에는 지저분하다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 이 풀이 전체의 축이다. 제곱근 자체를 변수로 삼아 t_n=√(1+12x_n)이라 두면 점화식이 '2 씩 더하기'가 된다. 그러면 문제가 세기로 바뀌고, 작은 경우에서 패턴을 짐작하는 일 없이 정확한 닫힌 꼴이 나오며, 그다음은 도구 #14(극단의 원리)가 실제 질문을 맡는다. 질문의 정체는 문턱값, 즉 어떤 경계를 처음 넘는 가장 작은 n 이다. 처음부터 하나의 규율이 계획에 들어 있다. 점화식을 푸는 것은 사슬이 존재한다면 어떤 모습이어야 하는지를 보일 뿐이므로, 마지막 대수 작업은 닫힌 꼴을 되돌려 대입해 그 사슬이 정말로 합법적인 배치인지, 점들이 모두 서로 다른지까지 확인하는 일이어야 한다.