AMC 10 · 2009 · #11
학년 6 patterngeometry-2d pattern-recognitionsequences-arithmeticsystematic-enumeration easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
각 도형이 앞 도형을 한 변마다 하나씩 큰 새 정사각형 고리로 감싼다. 스무 번째 도형의 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
401
(B)
485
(C)
585
(D)
626
(E)
761
풀이 과정
전략 패턴 찾기
F₂₀까지 스무 개의 그림을 다 그리는 것은 무리다. 그러니 개수가 한 그림에서 다음 그림으로 얼마나 늘어나는지 보는 것이 핵심이다. 그림과 만드는 규칙이 새 고리의 크기를 정확히 알려 준다. 그 고리 크기가 깔끔한 패턴을 이루면, 고리들을 하나의 식으로 더한 뒤 n = 20을 넣어 계산하면 그림을 그릴 필요가 없다.
1STEP 1
그림에서 개수 읽기
처음 몇 개수는 도형에서 바로 읽힌다.
F₁ = 1, F₂ = 5, F₃ = 13
각 그림은 앞 그림에 테두리만 더한 것이니 테두리만 따라가면 된다.
4.OA.C.5Draw A Diagram2STEP 2
새 고리의 크기
새 고리의 크기가 일정한 간격으로 커진다.
ring(n) = 4n - 4; F₃ = 5 + (4 · 3 - 4) = 5 + 8 = 13
한 변에 n개인 정사각형 테두리는 자리 4n개에서 두 변이 공유하는 모서리 4개를 뺀 것이다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
고리를 모두 더해 식으로 만들기
고리를 모두 더하면 일반식이 나온다.
F_n = 1 + 4(1 + 2 + … + (n-1)) = 1 + 4·((n-1)n)/2 = 2n(n-1) + 1
일정하게 커지는 고리들의 합은 하나의 삼각수 합으로 접힌다.
고르게 커지는 고리를 계단처럼 더하면 삼각수의 합 하나로 접힌다.
▸ 왜?
각 고리는 앞 고리보다 언제나 같은 만큼 더 지니므로, 크기가 일정한 간격으로 오른다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
첫 고리와 마지막 고리를 짝지으면 안쪽으로 짝지은 것과 같은 합이 되므로, 전체 합이 하나의 곱이 된다.
양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
4STEP 4
n = 20 대입
값을 넣으면 761, 보기 (C).
F₂₀ = 2 · 20 · 19 + 1 = 760 + 1 = 761
식이 있으면 스무 번째 그림은 스무 번 그리는 대신 한 번 대입으로 끝난다.
6.EE.A.1Look For A Pattern정답
761
개수는 2n의 제곱처럼 커지므로 n = 20 부근에서는 2 곱하기 400 = 800보다 조금 작아야 한다. 761이 바로 거기에 있고, 401과 485는 이렇게 깊은 그림에 비해 너무 작으며 626은 앞 그림들이 따르는 2n(n-1)+1 패턴에 맞지 않는다. 이 식은 알려진 값을 모두 재현한다. n = 1이면 1, n = 2이면 5, n = 3이면 13이므로 n = 20에서 761이라는 결과를 믿어도 좋다.
💡핵심 정리
단계마다 테두리가 점점 커지며 자라는 모양이면, 매 단계를 그리지 말고 테두리들을 하나의 식으로 더하자.
- 그림에서 개수 읽기
- 새 고리의 크기
- 고리를 모두 더해 식으로 만들기
- n = 20 대입