AMC 10 · 2009 · #15
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #5(패턴 찾기)는 이 합을 다룰 수 있게 만드는 단 하나의 사실을 찾아낸다. i⁴ = 1이므로 곱해지는 i^k가 주기 4로 반복된다는 것이다. 그러면 합을 연속한 네 항씩 묶어 자르는 것이 자연스럽고, 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 전체 합이 반복되는 작은 문제 하나와 짧은 나머지로 바뀐다. 여기서 반드시 지켜야 할 원칙은, 처음 두 묶음을 보고 값을 읽어내는 것이 아니라 묶음의 값을 증명하는 것이다. 계수 4m+1, 4m+2, 4m+3, 4m+4는 묶음마다 달라지므로 '모든 묶음이 같은 값을 준다'는 주장은 패턴이 아니라 일반적으로 확인해야 하는 대수 항등식이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 일반 묶음 번호 m을 도입하고 n = 4m + r로 써서 모든 양의 정수 n이 정확히 한 번씩 다뤄지게 한다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)이 네 나머지 유형 중 세 개를 부호만으로 지우고, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 살아남은 유형을 m에 대한 두 개의 일차식으로 바꾼다. 두 식은 모두 성립해야 한다.
곱해지는 값은 네 번마다 반복된다
곱해지는 값이 네 항마다 반복된다.
i를 곱하는 것은 사분의 일 회전이므로 네 번 곱하면 정확히 처음 자리로 돌아온다.
i를 곱하는 것은 4분의 1 회전이므로, 네 번 곱하면 정확히 처음 자리로 돌아온다.
▸ 왜?
복소수는 방향을 지닌 점이며, i를 곱하면 그 방향이 4분의 1 바퀴 돈다.
▸ 왜?
4분의 1 회전 넷이 한 바퀴가 되고, 한 바퀴는 모든 것을 그대로 남긴다.
네 항 묶음은 항상 2-2i
각 묶음 안에서 가중치가 상쇄되어 상수만 남는다.
각 계수를 '묶음의 출발 높이 + 1,2,3,4'로 쪼개면 공통 높이가 네 곱셈값과 상쇄되어 모든 묶음이 같은 나머지를 남긴다.
9.A-SSE.A.2Identify Subproblems모든 n에 대한 합의 정확한 값
그것이 모든 개수에 대한 정확한 값을 준다.
완전한 묶음이 몇 개인지만 세면 되고, 끝에 남은 두세 항만 따로 챙기면 된다.
11.N-CN.A.2Introduce A Variable네 경우 중 세 개는 부호로 탈락
부호가 네 경우 중 셋을 없앤다.
한쪽 좌표가 이미 음수로 내려간 합은 두 좌표가 모두 양수인 수가 될 수 없다.
11.N-CN.A.1Eliminate Possibilities살아남은 한 경우를 풀기
남은 경우를 풀면 97, 보기 (E).
복소수 등식 하나는 실수 등식 두 개이고, 답은 둘 다 만족해야 인정된다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebrai의 거듭제곱은 네 번마다 반복되니 합을 네 항씩 잘라 보면, 어디서 시작하든 한 묶음은 정확히 2 - 2i이고 결국 끝에 남은 항들만이 답을 결정한다.
- 곱해지는 값은 네 번마다 반복된다
- 네 항 묶음은 항상 2-2i
- 모든 n에 대한 합의 정확한 값
- 네 경우 중 세 개는 부호로 탈락
- 살아남은 한 경우를 풀기