AMC 10 · 2009 · #24

학년 11 algebra
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence
logarithm-propertiesrecursive-sequenceexponential-function pattern-recognitionbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: logarithm-properties
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
거듭제곱의 탑을 쌓고 그것으로 아주 큰 수를 만든다. 로그를 몇 번까지 적용할 수 있는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2009
(B)
2010
(C)
2011
(D)
2012
(E)
2013
풀이 과정
전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): B의 크기는 계산할 방법도 없고 애초에 중요하지도 않다. 중요한 것은 B가 이웃한 두 탑 사이 어디에 있느냐뿐이다. log₂가 창 (T(n), T(n+1))을 정확히 (T(n-1), T(n)) 위로 옮기기 때문이다. 그래서 '로그를 몇 번 씌울 수 있나'라는 물음이 '몇 층에 있나'라는 물음으로 바뀐다. 도구 #4 (변수 도입하기): t = T(2009), u = T(2008)이라 이름 붙이고 관계 t = 2^u 하나만 쥐면 뒤의 부등식이 모두 한 줄로 끝난다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 세는 일이 '한 수의 로그 사슬은 얼마나 깊은가'라는 일반 보조정리와 'B는 어디에 놓이는가'라는 위치 문제로 갈라진다. 도구 #5 (패턴 찾기): 항등식 log₂ T(n) = T(n-1) 하나가 엔진 전부다. 로그 한 번이 딱 한 층을 내려간다. 도구 #14 (극단의 원리): 승부는 경계에서 갈린다. 탑 위에 정확히 놓인 수와 탑보다 엄밀하게 큰 수는 깊이가 정확히 1만큼 다른데, 그 1이 보기 두 개를 가른다. 그러므로 양쪽 부등식은 어림잡을 것이 아니라 엄밀하게 증명해야 한다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 2009를 작은 m으로 바꾸면 손으로 로그를 씌워 볼 만큼 수가 작아지고, 이것이 최종 개수를 독립적으로 검산하는 방법이 된다. 덤으로 가장 작은 경우가 퇴화한다는 사실도 드러난다.

1STEP 1

'정의된다'가 금지하는 것 못박기

입력이 양수인 동안에만 적용이 정당하다.

x₀ = B, x_j+1 = log₂ x_j; x_k 가 정의된다 ⇔ x₀, x₁, …, x_k-1 ＞ 0
2STEP 2

항등식 하나가 전부를 굴린다

하나의 항등식이 탑과 그 아래 탑을 잇는다.

log₂ T(n) = T(n-1) (n ≥ 2); T(n) ＜ x ＜ T(n+1) → T(n-1) ＜ log₂ x ＜ T(n)
3STEP 3

탑 자체의 깊이 세기

그것이 탑 자체의 깊이를 준다.

T(n) → T(n-1) → … → T(1) = 2 → 1 → 0 (정지); D(T(n)) = (n-1) + 2 = n+1
4STEP 4

탑보다 조금이라도 크면 한 번을 더 번다

탑보다 크면 단계를 하나 더 번다.

T(n) ＜ x ＜ T(n+1) → x_n-1 ∈ (2,4) → x_n ∈ (1,2) → x_n+1 ∈ (0,1) → x_n+2 ＜ 0 (정지); D(x) = n+2
5STEP 5

B에서 로그 세 번 벗겨 내기

그 수에서 로그 세 번을 벗기는 것은 간단하다.

x₁ = t^t u, x₂ = tu + T(2007), x₃ = log₂(tu + T(2007))
6STEP 6

결과를 두 탑 사이에 엄밀하게 가두기

그 결과가 두 탑 사이에 엄밀히 갇힌다.

T(2008) = log₂ t ＜ x₃ ＜ log₂(2t²) = 1 + 2u ＜ 2^u = T(2009)
7STEP 7

개수 합산하기

개수를 더하면 2013, 보기 (E).

D(B) = 3 + D(x₃) = 3 + (2008 + 2) = 2013; 같은 말로 T(2011) ＜ B ＜ T(2012) → D(B) = 2011 + 2 = 2013 (E)
정답
2013
2009 대신 m = 2로 같은 구성을 해 보면 모든 수가 손으로 확인할 만큼 작아진다. T(2) = 4, A = 4⁴ = 256, B = 4²⁵⁶ = 2⁵¹²이다. 반복해서 로그를 씌우면 512 → 9 → log₂ 9 ≈ 3.170 → ≈ 1.664 → ≈ 0.735 → ≈ -0.444이고 그다음은 불가능하다. 로그 여섯 번이며, 일반 공식 m + 4와 맞는다. 위치 논증도 같은 답을 준다. T(4) = 65536 ＜ 2⁵¹² ＜ T(5)이므로 n = 4이고 4단계가 D = 6을 준다. 자릿수까지 확인 가능한 경우에서 두 경로가 같은 수에 도달한다. 이제 이 문제를 위험하게 만드는 경고를 보자. m = 1은 패턴을 따르지 않는다. 그 경우 T(1) = 2, A = 4, B = 2⁴ = 16인데, 16은 정확히 T(3)이다. 두 탑 사이에 낀 수가 아니라 탑 자체다. 깊이는 16 → 4 → 2 → 1 → 0으로 D = 4이지 1 + 4 = 5가 아니다. 가장 작은 경우에서 패턴을 읽어 낸 사람은 m + 3을 얻고 엉뚱한 보기를 고른다. 패턴 m + 4는 m = 2부터 시작하는데, 그 이유가 바로 6단계에서 쓴 부등식이다. 그 부등식에는 T(m-1) ≥ 2가 필요한데 m = 1에서는 T(0) 자체가 없다. 그러므로 4단계의 엄밀성은 형식적인 군더더기가 아니라 정답과 2012를 가르는 유일한 근거다. 이 사실이 출제자가 놓은 함정도 짚어 준다. 2012는 정확히 D(T(2011))로, x₃을 엄밀하게 더 크다고 증명하는 대신 T(2008)으로 반올림했을 때 나오는 값이고, 마지막 결과값까지 양수여야 한다고 잘못 요구했을 때 나오는 값이기도 하다. 더 작은 보기 2009, 2010, 2011은 하강을 0보다 한 칸 이상 위에서 멈췄을 때 나온다.
💡핵심 정리

탑을 직접 계산하려 들지 말고 그 수가 어느 두 탑 사이에 있는지만 찾으면 된다. 탑보다 조금이라도 큰 수는 그 탑보다 로그를 정확히 한 번 더 견디기 때문이다.

  • '정의된다'가 금지하는 것 못박기
  • 항등식 하나가 전부를 굴린다
  • 탑 자체의 깊이 세기
  • 탑보다 조금이라도 크면 한 번을 더 번다
  • B에서 로그 세 번 벗겨 내기
  • 결과를 두 탑 사이에 엄밀하게 가두기
  • 개수 합산하기

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