AMC 10 · 2009 · #25

학년 11 algebrapattern

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

tangent-addition-formulaperiodic-functionrecursive-sequence pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: tangent-addition-formula

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 수열이 앞 두 항의 합과 곱을 섞은 분수로 다음 항을 만든다. 목록 한참 뒤 항의 크기를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2 - \sqrt3$

(C)

$\frac {1}{\sqrt3}$

(D)

(E)

$2 + \sqrt3$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

(a_n+a_n+1)/(1-a_na_n+1)을 손으로 2009번 계산하는 것은 불가능하고, 항들 자체도 √3이 섞인 지저분한 수다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 판을 뒤집는 관찰 하나를 준다. 저 분수는 탄젠트 덧셈 공식이고, 따라서 이 규칙의 정체는 "앞의 두 각을 더한다"이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 각 항에 각 θ_n을 붙여 그 관찰을 정확한 것으로 만들고, 곱셈투성이 점화식을 단순한 덧셈으로 바꾼다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 문제를 두 번 줄인다. tan이 되풀이되므로 각은 180°로 나눈 나머지만 의미가 있고, 게다가 모든 각이 15°의 배수로 드러나므로 수열 전체가 12로 나눈 나머지 위의 피보나치식 점화식으로 주저앉는다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 그 짧은 목록을 적어 순환을 드러내고, 도구 #5(패턴 찾기)는 순환 길이를 나눗셈 한 번으로 바꾼다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이런 깔끔한 치환이 보통 숨기고 넘어가는, 정작 이 풀이를 떠받치는 확인을 맡는다. 90°는 탄젠트가 없는 유일한 각이고, 이 논증이 유효한 것은 그 값이 결코 나타나지 않기 때문이며, 원래 분모가 결코 0이 되지 않는 이유도 바로 그것이다.

1STEP 1

이 규칙은 탄젠트 덧셈 공식이다

그 규칙은 탄젠트 덧셈 공식이다.

tan(x+y)=(tan x+tan y)/(1-tan xtan y) 대 a_n+2=(a_n+a_n+1)/(1-a_na_n+1)

2STEP 2

각의 목록을 따로 만든다

항 대신 각을 좇으면 모든 것이 간단해진다.

θ₁=45, θ₂=30, θ_n+2≡θ_n+θ_n+1 (mod 180) ⟹ b₁=3, b₂=2, b_n+2≡ b_n+b_n+1 (mod 12)

3STEP 3

목록은 24항에서 닫힌다

각의 목록이 정해진 걸음 뒤에 반복된다.

{b_n}=3,2,5,7,0,7,7,2,9,11,8,7,3,10,1,11,0,11,11,10,9,7,4,11, 3,2,…

4STEP 4

6이 나타나지 않는 이유, 그리고 그것이 중요한 이유

금지된 각이 나타나지 않아 규칙이 깨지지 않는다.

b_n=6→ n≡ 2 (mod 6) (짝수) 그리고 n≡ 1,5 (mod 8) (홀수) — 불가능

5STEP 5

치환이 정리가 된다

그것이 치환을 진짜 정리로 만든다.

cos(θ_n+θ_n+1)=cosθ_ncosθ_n+1(1-tanθ_ntanθ_n+1) ≠ 0 ⟹ 1-a_na_n+1 ≠ 0, a_n+2=tanθ_n+2°

6STEP 6

2009번째 항에 착지하기

나머지가 목표 항을 0에 놓는다.

2009=24 · 83+17 → b₂₀₀₉=b₁₇=0 → a₂₀₀₉=tan 0° = 0

7STEP 7

삼각함수 없이 확인하기

직접 계산해도 0이 확인된다, 보기 (A).

a₃=2+√3, a₄=-(2+√3), a₅=0, …, a₁₇=0, (a₂₅,a₂₆)=(1,1/√3)=(a₁,a₂)

정답

선택지 자체가 이 구조를 뒷받침한다. 다섯 개 모두 15° 배수의 탄젠트의 절댓값이다. 즉 0, tan 15°=2-√3, tan 30°=1/√3, tan 45°=1, tan 75°=2+√3이고, 처음 26항을 정확히 다시 계산해 보면 모든 항이 예외 없이 그 15° 격자 위에 놓인다. 값 0은 운 좋은 첨자 하나에서 우연히 나온 것이 아니다. b_n=0은 n≡ 5와 n≡ 17 (mod 24)에서 일어나므로 24항마다 두 항이 0이고, 2009가 그중 하나다. 문제의 절댓값 기호도 단서다. 이 수열은 실제로 음수 값을 가지므로(a₄=-(2+√3)) 부호가 붙은 답이었다면 애매했을 텐데, 0은 부호가 무의미해지는 유일한 값이다. 끝으로 이 방법 전체가 걸려 있는 위험을 가정이 아니라 확인으로 처리했다. b_n=6(즉 θ_n=90°)은 결코 일어나지 않으므로 1-a_na_n+1은 절대 0이 아니고, 수열은 n=2009까지 진짜로 정의된다. 직접 한 정확한 계산도 분모가 0이 되는 일이 한 번도 없음을 확인해 준다.

💡핵심 정리

(x+y)/(1-xy) 모양의 규칙은 사실 각을 더하고 있는 것이다. 수를 각으로 바꿔 놓으면 2009걸음짜리 괴물이 24마다 반복되는 목록으로 변한다.

이 규칙은 탄젠트 덧셈 공식이다
각의 목록을 따로 만든다
목록은 24항에서 닫힌다
6이 나타나지 않는 이유, 그리고 그것이 중요한 이유
치환이 정리가 된다
2009번째 항에 착지하기
삼각함수 없이 확인하기