AMC 10 · 2009 · #10
학년 5 counting complementary-countingdigit-countingfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: complementary-counting
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 시계가 특정 숫자가 나와야 할 자리마다 다른 숫자를 보여 준다. 하루 중 표시가 맞는 시간의 비율을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac 12$
(B)
$\frac 58$
(C)
$\frac 34$
(D)
$\frac 56$
(E)
$\frac {9}{10}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
표시는 시 부분과 분 부분이라는 서로 독립된 두 조각으로 이루어져 있다. 어떤 시각이 올바르려면 시도 올바르고 분도 올바라야 하며, 올바른 분의 집합은 어느 시간대에서나 똑같다. 그래서 문제를 쪼갠다: 1이 없는 시의 비율과 1이 없는 분의 비율을 각각 구한 뒤 두 분수를 곱한다.
1STEP 1
올바름을 1이 없음으로 바꿔 보기
맞다는 것은 그 숫자가 나오지 않는다는 뜻이다.
표시가 올바름 ⇔ 어떤 자릿수도 1 이 아님
기계가 오직 숫자 1만 망가뜨린다면, 모든 1을 피하기만 하면 표시가 완벽해진다.
4.NBT.A.2Change Focus Count The Complement2STEP 2
올바른 시 세기
시를 세면 2/3이다.
올바른 시 = {2,3,4,5,6,7,8,9} → 8/12 = 2/3
어딘가에 1이 들어 있는 시를 모두 지우고 남은 것을 세면 된다.
4.NF.A.1Make A Systematic List3STEP 3
올바른 분 세기
분을 세면 3/4이다.
5 × 9 = 45 개의 올바른 분 → 45/60 = 3/4
허용되는 십의 자리 각각이 허용되는 일의 자리 각각과 짝을 이룰 수 있으니 가짓수를 곱한다.
허용된 십의 자리 숫자는 저마다 허용된 일의 자리 숫자와 나란히 놓일 수 있으므로, 선택지가 곱해진다.
▸ 왜?
두 자리는 서로 상관없이 골라지므로, 개수가 곱해진다.
독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
▸ 왜?
한 시간 안의 어느 분이든 똑같이 일어날 만하므로, 그것을 세면 확률이 곧바로 나온다.
동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.
4STEP 4
두 작은 문제 합치기
둘이 독립이라 곱하면 1/2, 보기 (E).
2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2
올바른 시와 올바른 분이 둘 다 일어나야 하므로 두 분수를 곱한다.
5.NF.B.4Identify Subproblems정답
1/2
개수로 확인해 보자: 가능한 시각은 12 × 60 = 720개이고, 그중 1이 없는 것은 8 × 45 = 360개이다. 이는 정확히 360/720=1/2로, 분수를 곱해 얻은 값과 일치한다. 절반이라는 결과도 그럴듯하다: 1은 꽤 흔한 숫자여서 전체 표시의 약 절반을 망친다는 것이 자연스럽다.
💡핵심 정리
두 부분으로 된 표시를 부분별로 나눠 각 부분에서 맞을 비율을 구하고, 그 분수들을 곱하면 전체가 맞을 비율이 나온다.
- 올바름을 1이 없음으로 바꿔 보기
- 올바른 시 세기
- 올바른 분 세기
- 두 작은 문제 합치기