AMC 10 · 2010 · #24

학년 11 algebracounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

domain-restrictionlogarithm-propertiesperiodic-functionfloor-functionparity symmetry-argumentsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: domain-restriction

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

여덟 개 사인의 곱에 씌운 로그는 그 곱이 양수인 곳에서만 정의된다. 떨어진 구간의 개수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): 곱의 크기는 전혀 중요하지 않고 오직 부호만 중요한데, 0이 아닌 여덟 수의 곱의 부호는 음수인 인수의 개수가 짝수인지로 결정된다. 그리고 sin(kπ x) ＜ 0은 ⌊ kx⌋가 홀수인 것과 같으므로, 삼각함수 문제가 정수의 홀짝 문제 하나로 줄어든다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 세는 일이 (가) 부호가 바뀔 수 있는 곳은 어디인가, (나) 그중 실제로 바뀌는 곳은 어디인가로 깔끔히 나뉜다. 도구 #5 (패턴 찾기): (나)에는 날카로운 답이 있다. 기약분모가 q인 분기점을 지날 때 여덟 인수 중 ⌊ 8/q⌋개가 동시에 0이 되므로, 그 개수가 홀수일 때만 부호가 뒤집힌다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 반사 항등식 P(1-x) = P(x)를 증명해 두면 확인할 양이 절반으로 준다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 그러면 왼쪽 절반은 표시가 붙은 분기점 열 개를 순서대로 훑는 짧은 작업이 된다.

1STEP 1

정의역을 부등식 하나로 바꾸기

정의역은 하나의 양수 조건이다.

x ∈ dom f ⇔ P(x) := Π_k=1⁸sin(kπ x) ＞ 0

2STEP 2

부호가 바뀔 수 있는 곳 찾기

분기점이 구간을 22 조각으로 자른다.

2 + Σ_q=2⁸φ(q) = 2 + (1+2+2+4+2+6+4) = 23 개의 분기점 → 22 개의 열린구간

3STEP 3

각 사인의 부호를 바닥함수로 읽기

각 인수의 부호는 바닥함수의 홀짝이다.

sin(kπ x) ＞ 0 ⇔ ⌊ kx⌋ 짝수, sin(kπ x) ＜ 0 ⇔ ⌊ kx⌋ 홀수

4STEP 4

곱을 홀짝 문제로 바꾸기

따라서 곱의 부호는 하나의 큰 홀짝이다.

P(x) ＞ 0 ⇔ S(x) = Σ_k=1⁸⌊ kx⌋ 가 짝수; 0 ＜ x ＜ 1/8 → S(x) = 0 (짝수)

5STEP 5

부호를 실제로 뒤집는 분기점 가려내기

개수가 홀수인 분기점만 부호를 뒤집는다.

⌊ 8/q⌋: q=2 → 4, q=3 → 2, q=4 → 2 (짝수: 안 바뀜); q=5,6,7,8 → 1 (홀수: 바뀜)

6STEP 6

두 절반이 거울상임을 증명하기

두 절반은 완전한 거울상이다.

sin(kπ(1-x)) = (-1)^k+1sin(kπ x) → P(1-x) = (-1)⁴ P(x) = P(x)

7STEP 7

왼쪽 절반을 순서대로 훑기

왼쪽 절반을 훑으면 양수 조각이 6개다.

(0,1/8)^+ 1/8 ^- 1/7 ^+ 1/6 ^- 1/5 ^+ 1/4 ^+ 2/7 ^- 1/3 ^- 3/8 ^+ 2/5 ^- 3/7 ^+ 1/2 (밑줄 = 안 바뀜) → 양수 6 개

8STEP 8

거울로 옮기고 합계와 분리 확인

거울로 옮겨 두 배 하면 12, 보기 (B).

n = 6 + 6 = 12, 12 + 10 = 22 ✓ (B)

정답

확인은 세 가지다. 첫째, 합계가 맞아떨어진다. 양수 12개와 음수 10개가 분기점 23개로 잘린 구간 22개를 정확히 채우므로, 빠뜨리거나 지어낸 구간이 없다. 둘째, 뒤집힘 규칙 대신 바닥값을 직접 써서 부호를 점검하면 논증의 다른 고리를 시험할 수 있다. (2/7,1/3) 안의 x = 0.3에서 k = 1,…,8에 대한 ⌊ kx⌋는 0,0,0,1,1,1,2,2로 홀수가 세 개, 즉 홀수 개이므로 P ＜ 0이고, 훑기에서 나온 -와 일치한다. (3/7,1/2) 안의 x = 0.45에서는 0,0,1,1,2,2,3,3으로 홀수가 네 개, 즉 짝수 개이므로 P ＞ 0이고 역시 +와 일치한다. 셋째, 오답 보기도 모두 설명된다. 22는 부호를 걸러 내기 전 구간의 개수이고, 2는 부호가 거의 바뀌지 않아야 나오며, 18과 36은 이 문제의 어떤 개수와도 맞지 않는다. 따라서 n = 12, 보기 (B)이다.

💡핵심 정리

사인을 길게 곱한 것의 부호는 결국 홀짝 세기다. 각 인수의 부호는 ⌊ kx⌋로 읽고, 곱의 부호는 홀수 개의 인수가 동시에 0이 되는 곳에서만 뒤집힌다.

정의역을 부등식 하나로 바꾸기
부호가 바뀔 수 있는 곳 찾기
각 사인의 부호를 바닥함수로 읽기
곱을 홀짝 문제로 바꾸기
부호를 실제로 뒤집는 분기점 가려내기
두 절반이 거울상임을 증명하기
왼쪽 절반을 순서대로 훑기
거울로 옮기고 합계와 분리 확인