AMC 10 · 2010 · #4
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
개수를 확실히 하려면 첫날이 될 수 있는 일곱 가지 요일을 모두 적어 하나씩 확인하는 것이 가장 깔끔합니다 (도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 나열하기 전에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 31 일을 "온전한 4 주" 와 "남는 3 일" 로 나누는 것이 핵심 구조입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 이를 "남는 3 일은 시작 요일이 바뀌면 함께 미끄러지는 연속된 세 요일" 이라는 규칙으로 바꿔, 바뀌는 것은 오직 어떤 세 요일이 5 번째 등장을 얻느냐뿐임을 보여줍니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 각 줄의 명쾌한 판정을 줍니다 — 월요일과 수요일이 그 3 일 묶음에 둘 다 들거나 둘 다 빠질 때만 개수가 같습니다.
31을 주와 나머지로 나누기
그 달은 네 주에 세 날을 더한 것이다.
달력을 먼저 온전한 주로 자르면 모든 요일이 4 번으로 완벽히 동점에서 출발하니, 동점을 깨는 건 오직 남는 날들뿐입니다.
한 달을 먼저 온전한 주로 자르면 모든 요일이 넷씩으로 동점이 되므로, 남는 날만이 그 균형을 깬다.
▸ 왜?
나눗셈은 온전한 주와 한 주보다 작은 나머지를 주며, 그 나눔은 오직 하나다.
▸ 왜?
요일은 정확히 이레마다 되풀이되므로, 온전한 한 주는 모든 요일을 하나씩 보탠다.
누가 보너스 날을 받는지 찾기
그 나머지가 세 요일에게 다섯 번째를 준다.
나머지 3은 언제나 1 일부터 시작하는 연속된 세 요일에 떨어지므로, 첫날만 알면 누가 보너스를 받는지 정확히 알 수 있습니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern개수가 같아지는 조건 세우기
개수가 같으려면 둘 다 들거나 둘 다 빠져야 한다.
개수가 같으려면 월요일과 수요일이 같은 운명을 나눠 가져야 합니다; 한쪽만 갈리면 언제나 동점이 깨집니다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities7개 시작 요일 모두 나열하기
확인할 시작 요일은 일곱뿐이다.
모든 경우를 적어 두면 빠뜨릴 걱정이 없습니다 — 어느 줄이 통과하는지 눈으로 바로 보입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List통과한 요일 세기
그중 정확히 3개가 통과한다, 보기 (B).
통과한 줄만 세면 됩니다; 그런 줄이 세 개입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List31 일을 온전한 4 주에 남는 3 일로 나눠 보세요: 연속된 세 요일만 보너스 5 번째 등장을 얻으니, 월요일과 수요일이 둘 다 보너스이거나 둘 다 아닌지만 확인하면 됩니다 — 그게 7 개 시작 요일 중 3 개에서 성립해요.
- 31을 주와 나머지로 나누기
- 누가 보너스 날을 받는지 찾기
- 개수가 같아지는 조건 세우기
- 7개 시작 요일 모두 나열하기
- 통과한 요일 세기