AMC 10 · 2010 · #6

학년 6 algebra

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

optimizationpercentageset-partition extreme-principle ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

처음에는 반반이던 학급이 나중에 한쪽으로 기울고, 몇몇은 답을 바꿨다. 가능한 변경 비율의 폭을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

어떤 양이 가질 수 있는 가장 크고 가장 작은 값을 묻는 것은 도구 #14(극단의 원리)의 전형적인 신호다. 경계가 되는 경우를 찾으면 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 모든 학생을 초→말 네 무리 표로 정리하면 어느 누구도 중복해서 세지 않는다. 도구 #4(변수 도입하기)로 자유롭게 정할 수 있는 단 하나의 값 — "예"에서 "아니오"로 바꾼 학생 수 — 에 이름을 붙이면, 답이 걸린 식이 하나로 정리되고 그 양 끝이 정답을 준다.

1STEP 1

학생을 네 무리로 나누기

네 무리가 모든 학생을 정확히 설명한다.

x = (예→아니오) + (아니오→예)

2STEP 2

바뀜에 이름을 붙이고 서로 연결하기

두 바뀜의 수가 정해진 만큼 차이 난다.

(아니오→예) - s = 20 → 아니오→예 = s + 20

3STEP 3

바뀐 학생 수를 하나의 식으로 쓰기

따라서 변경 비율이 하나의 미지수에 달려 있다.

x = s + (s + 20) = 2s + 20

4STEP 4

s를 극단으로 밀어붙이기

그 미지수는 0부터 30까지 움직인다.

0 ≤ s ≤ 30

5STEP 5

양 극단을 비교하기

양 극단의 차는 60, 보기 (D).

x_min = 2(0)+20 = 20, x_max = 2(30)+20 = 80, 80 - 20 = 60 → (D)

정답

두 극단 경우를 모든 합계에 대해 확인한다. 최소(s = 0): 예→아니오 = 0, 아니오→예 = 20, 예→예 = 50, 아니오→아니오 = 30. 초 예 = 50+0 = 50, 말 예 = 50+20 = 70, 말 아니오 = 0+30 = 30, 바뀐 학생 = 0+20 = 20. 최대(s = 30): 예→아니오 = 30, 아니오→예 = 50, 예→예 = 20, 아니오→아니오 = 0. 초 예 = 20+30 = 50, 말 예 = 20+50 = 70, 말 아니오 = 30+0 = 30, 바뀐 학생 = 30+50 = 80. 두 경우 모두 네 합계를 만족하며 80 - 20 = 60이므로 (D)가 확인된다.

💡핵심 정리

모두를 "누가 바꿨나" 무리로 정리하고, 예 쪽은 들어온 것에서 나간 것을 뺀 만큼만 움직인다는 점을 알아챈 뒤, 자유로운 바뀜 수를 최소와 최대로 밀어붙여 답을 양쪽에서 좁힌다.

학생을 네 무리로 나누기
바뀜에 이름을 붙이고 서로 연결하기
바뀐 학생 수를 하나의 식으로 쓰기
s를 극단으로 밀어붙이기
양 극단을 비교하기

학생을 네 무리로 나누기

바뀜에 이름을 붙이고 서로 연결하기

바뀐 학생 수를 하나의 식으로 쓰기

s를 극단으로 밀어붙이기

양 극단을 비교하기

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