AMC 10 · 2011 · #17
학년 11 algebrapattern답을 골라 클릭하세요.
겁나 보이는 log와 10의 거듭제곱은 서로 상쇄되므로, 먼저 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 h₁을 x ↦ 10x-1이라는 단순한 규칙으로 접고 2011번 합성을 한 줄짜리 점화식으로 바꾼다. 다음으로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 n=1,2,3,4를 직접 굴려 숫자의 모양을 본다. 진짜 문제는 여기서 시작한다. 묻는 것이 자릿수 합이므로 9, 89, 889를 보고 추측하는 것으로는 부족하고, 자리 표기 자체를 증명해야 한다. 도구 #5(패턴 찾기)가 자리 문자열에 대한 귀납법으로 그 증명을 맡고, 닫힌 식이 같은 수에 대한 두 번째 독립적인 설명을 준다. 도구 #3(가능성 지우기)은 검산용으로 남겨 둔다. 자릿수 합은 9로 나눈 나머지가 고정되는데, 그 체를 통과하는 선택지는 하나뿐이다.
합성을 접기
합성이 하나의 일차 규칙으로 접힌다.
밑이 10인 로그와 10의 거듭제곱은 서로를 지우므로, 탑처럼 쌓인 식이 보통 계산으로 납작해진다.
11.F-LE.A.4Convert To Algebra합성을 점화식으로 바꾸기
반복하면 단순한 점화식이다.
한 함수를 계속 씌우는 것은 각 항이 앞 항에서 만들어지는 수열과 똑같다.
9.F-IF.A.3Convert To Algebra처음 몇 항 굴려 보기
처음 몇 항이 뚜렷한 패턴을 보인다.
작은 사례는 무엇을 증명해야 하는지 알려 줄 뿐, 계속 성립한다는 것까지 알려 주지는 않는다.
4.NBT.B.4Solve An Easier Related Problem자리 표기를 증명하기
점화식이 그 표기가 이어짐을 증명한다.
10을 곱하면 자리가 밀릴 뿐이고, 90으로 끝나는 수에서 1을 빼면 마지막 두 자리만 흔들린다.
10을 곱하면 자릿수가 옆으로 밀릴 뿐이므로, 1을 빼도 마지막 자리들만 흔들린다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 밑만큼 키우면 각 자릿수가 한 자리 위로 옮겨진다.
▸ 왜?
각 항은 앞 항에 같은 수를 곱한 것이므로, 같은 밀기가 걸음마다 되풀이된다.
닫힌 식으로 확인하기
닫힌 식이 그것을 확인한다.
식과 써 놓은 자리 문자열이 같은 수를 내놓으면, 그 자리 문자열이 맞는 것이다.
11.A-SSE.B.4Convert To Algebra자릿수 더하기
자릿수를 더하면 16089, 보기 (B).
모든 자리가 정해지고 나면 자릿수 합은 각 숫자가 몇 개인지 세는 일에 불과하다.
5.NBT.B.5Look For A Pattern매 단계가 그저 "10 곱하고 1 빼기"라서 자리가 한 칸씩 밀리고 끝의 90이 89로 바뀔 뿐이므로, 이 수는 8이 줄지어 서고 끝에 9 하나가 붙은 모양으로 자란다.
- 합성을 접기
- 합성을 점화식으로 바꾸기
- 처음 몇 항 굴려 보기
- 자리 표기를 증명하기
- 닫힌 식으로 확인하기
- 자릿수 더하기