AMC 10 · 2011 · #25

학년 7 probabilitynumber-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticfloor-functionprobability-basicoptimization casework ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트

문제

무작위로 고른 수에 대해 반올림 등식이 성립해야 하고, 확률은 홀수 하나에 달려 있다. 가장 작은 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{50}{99}$

(C)

$\frac{44}{87}$

(D)

$\frac{34}{67}$

(E)

$\frac{7}{13}$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15 (다르게 정리하기): 반올림은 계산하기 어렵지만, 같은 정보를 '나머지'로 바꿔 담을 수 있다. s(m)을 k의 가장 가까운 배수로부터 잰 나머지라 하고 m=k[m/k]+s(m)으로 쓰면, 반올림 등식이 반올림이 하나도 없는 정확한 등식 s(n)+s(100-n)=s(100)으로 바뀐다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 1 ≤ n ≤ 99!이라는 범위는 그대로는 다룰 수 없지만, 사건이 n을 k로 나눈 나머지에만 달려 있으므로 문제는 k개의 나머지 중 몇 개가 조건을 만족하는지 세는 것으로 줄어든다. 도구 #4 (변수 도입하기): c=s(100), h=(k-1)/2이라 이름 붙이면 개수 세기가 두 구간이 겹치는 길이 문제가 된다. 도구 #14 (극단의 원리): 최솟값을 묻고 있으므로 P(k)의 하한과, 그 하한에 정확히 걸치는 k가 둘 다 필요하다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 하한 하나로 작은 k는 한꺼번에 정리되지만 큰 k에서는 하한이 느슨해지므로, 그쪽은 따로 정확히 계산해야 한다.

1STEP 1

반올림에 애매한 경우는 없다

홀수로 나누면 반올림이 애매한 경우가 불가능하다.

m/k=j+1/2 → 2m=k(2j+1), 짝수 = 홀수, 불가능

2STEP 2

n의 나머지만이 문제다

고른 수의 나머지만 중요하다.

[(n+k)/k]+[(100-(n+k))/k]=([n/k]+1)+([(100-n)/k]-1)

3STEP 3

문제에 99!이 나오는 이유

범위가 거대해서 모든 나머지가 똑같이 나온다.

k ∣ 99! → P(k)=(#{k로 나눈 나머지 부류 중 조건을 만족하는 것})/k

4STEP 4

나머지를 '남은 양'으로 담아 두기

부호 있는 남은 양이 반올림을 대신한다.

[m/k]=(m-s(m))/k, -h ≤ s(m) ≤ h, h=(k-1)/2

5STEP 5

반올림이 사라진다

그러면 등식에서 반올림이 사라진다.

(n-s(n))/k+(100-n-s(100-n))/k=(100-s(100))/k⇔ s(n)+s(100-n)=s(100)

6STEP 6

남은 양이 정확히 더해질 때

남는 것은 하나의 크기 조건이다.

등식 성립⇔ |c-a| ≤ h⇔ |s(n)-s(100)| ≤ (k-1)/2

7STEP 7

조건을 만족하는 나머지 세기

되는 나머지를 세면 깔끔한 식이 나온다.

P(k)=(k-|c|)/k=1-|c|/k, |c|=100에서 k의 가장 가까운 배수까지의 거리

8STEP 8

하한, 그리고 하한에 닿는 순간

그 식에는 드물게만 닿는 하한이 있다.

P(k) ≥ (k+1)/2k, 등호 ⇔ k ∣ 199 또는 k ∣ 201=3 · 67 → k∈{1,3,67}

9STEP 9

두 경우로 나누어 마무리

두 범위를 따로 확인한다.

k ≤ 67: P(k) ≥ (k+1)/2k ≥ 34/67; 69 ≤ k ≤ 99: P(k)=(2k-100)/k ≥ 38/69 ＞ 34/67

10STEP 10

최솟값은 k = 67에서 나온다

가장 작은 값은 34/67, 보기 (D).

min_k 홀수, 1 ≤ k ≤ 99 P(k)=P(67)=34/67 (D)

정답

34/67

P(k)=1-|c|/k이라는 식은 독립적인 점검을 통과한다. k=1이면 반올림할 것이 없어 n+(100-n)=100이 항상 성립하는데, 실제로 |c|=0이므로 P(1)=1이다. k=99이면 100이 배수 99에서 겨우 1 떨어져 있으므로 P(99)=98/99로 거의 확실한데, 이는 등식이 단 하나의 나머지에서만 깨진다는 사실과 맞는다. k=13이면 가장 가까운 배수가 104로 거리가 4이므로 P(13)=9/13이고 34/67보다 넉넉히 크다. 선택지 자체도 문제 해석이 맞다는 것을 확인해 준다. 50/99,44/87,34/67,7/13은 각각 k=99,87,67,13에서의 하한 (k+1)/2k이고, 1/2은 그 하한이 다가가되 결코 닿지 못하는 값이다. 그중 둘은 34/67보다 작은데, 바로 그 점이 하한에서 멈추면 안 되는 이유다. k=99와 k=87의 실제 확률은 98/99와 74/87로 자기 하한 근처에도 가지 않는 반면, k=67은 하한이 실제로 달성되는 세 개의 k 중 하나다. 그래서 34/67은 단지 가장 작은 하한이 아니라 진짜 최솟값이다.

💡핵심 정리

k의 가장 가까운 배수로 반올림한다는 것은 0에 가장 가까운 남은 양을 버린다는 뜻일 뿐이므로, 문제 전체가 '100은 k의 가장 가까운 배수에서 얼마나 떨어져 있는가' 하나로 접힌다.

반올림에 애매한 경우는 없다
n의 나머지만이 문제다
문제에 99!이 나오는 이유
나머지를 '남은 양'으로 담아 두기
반올림이 사라진다
남은 양이 정확히 더해질 때
조건을 만족하는 나머지 세기
하한, 그리고 하한에 닿는 순간
두 경우로 나누어 마무리
최솟값은 k = 67에서 나온다