AMC 10 · 2012 · #24
학년 11 patternalgebra답을 골라 클릭하세요.
이 문제의 전부는 2011개 항의 정렬 순서다. 순서만 알면 세는 일은 한 줄짜리 방정식이다. 항을 직접 계산하는 것은 불가능하므로 순서는 구조에서 나와야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 밑들을 c_k라 이름 붙이고, 이들 전부를 하나의 고정된 수 L = 0.2010101… 를 기준으로 배치한다. 이것이 밑들을 비교 가능하게 만드는 열쇠다. 도구 #1(그림 그리기)은 0 ＜ c ＜ 1일 때 y = c^x의 그래프에서 읽어내는 두 가지 단조성 사실을 준다. 지수가 커지면 값은 내려가고, 밑이 커지면 값은 올라간다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 a₁, a₂, a₃, a₄를 손으로 정리한다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 작업을 맡는데, 항 네 개에서 본 패턴은 증명이 아니다. 게다가 여기서는 위험한 도박이다. 같은 점화식이라도 밑들의 순서가 달라지면 전혀 다른 정렬이 나오기 때문이다. 그래서 지그재그 a₁ ＜ a₃ ＜ … ＜ a₂₀₁₁ ＜ a₂₀₁₀ ＜ … ＜ a₂를 귀납법으로 증명한다. 각 단계는 두 단조성 사실을 함께 쓰고, 각 밑이 L의 어느 쪽에 있는지를 정확히 사용한다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 정렬된 목록을 번호 공식으로 다시 쓰고, 도구 #13(대수로 바꾸기)로 "자리를 지킨다"는 조건을 일차방정식으로 바꾼다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 결과를 선택지와 대조한다. 오답 선택지 하나하나가 특정한 잘못 세기에 대응하기 때문이다.
모든 밑을 한 수에 고정하기
모든 밑이 하나의 극한값 가까이 있다.
모든 밑은 같은 순환소수를 짧게 자른 것이라, 그 수를 사이에 두고 양쪽으로 나란히 줄을 선다.
5.NBT.A.3Introduce A Variable거듭제곱을 움직이는 두 레버
거듭제곱은 밑을 따라가고 지수와는 반대로 간다.
1보다 작은 수는 지수가 커지면 줄고 밑이 커지면 늘어난다. 여기서 쓸 수 있는 움직임은 이 둘뿐이다.
1보다 작은 수는 지수가 커지면 작아지고 밑이 커지면 커지며, 움직임은 그 둘뿐이다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세며, 작은 밑을 한 번 더 쓸 때마다 값이 줄어든다.
▸ 왜?
두 맞바꿈 어느 쪽도 뒤집히지 않으므로, 하나씩 바꾸면 어떤 비교든 정해진다.
처음 네 항은 손으로 끝내기
처음 네 항은 손으로 정리된다.
밑을 먼저 바꾸고 지수를 나중에 바꾸면, 비교 하나가 쉬운 비교 둘로 갈라진다.
11.N-RN.A.1Solve An Easier Related Problem지그재그는 추측이 아니라 증명하기
귀납법이 지그재그가 이어짐을 증명한다.
새 항은 언제나 앞의 두 항 사이에 갇히고, 밑들의 순서가 끝까지 그대로라서 그 갇힘이 계속 통한다.
9.F-IF.A.3Look For A Pattern정렬된 목록을 공식으로 쓰기
그러면 정렬된 목록에 닫힌 식이 있다.
지그재그를 정렬한다는 것은 한쪽 가지를 내려갔다가 다른 쪽 가지를 되올라오는 일이다.
9.F-IF.A.3Organize Information In More Ways두 번호 공식을 맞추기
두 번호 식을 맞추면 하나만 살아남는다.
항이 자리를 지킨다는 것은 정렬된 자리 번호가 자기 번호와 같다는 뜻이고, 그것은 일차방정식 하나다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebra살아남은 번호를 더하기
합은 1341, 보기 (C).
문제는 합을 묻지만 자리를 지키는 번호가 하나뿐이라, 그 합은 그 번호 자체다.
9.A-REI.B.3Eliminate Possibilities새 항은 늘 앞의 두 항 사이에 놓여서 목록이 안쪽으로 지그재그를 그린다. 홀수 항은 올라가고 짝수 항은 내려간다. 그 순서만 알면 어떤 항이 자기 자리를 지키는지는 일차방정식 하나로 끝난다.
- 모든 밑을 한 수에 고정하기
- 거듭제곱을 움직이는 두 레버
- 처음 네 항은 손으로 끝내기
- 지그재그는 추측이 아니라 증명하기
- 정렬된 목록을 공식으로 쓰기
- 두 번호 공식을 맞추기
- 살아남은 번호를 더하기