AMC 10 · 2012 · #9
학년 4 number-theory modular-arithmeticpattern-recognition work-backwardscasework ↑ 선수 지식: modular-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 요일이 태어난 날로부터 정확히 여러 해 뒤에 있다. 태어난 날의 요일을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
Friday
(B)
Saturday
(C)
Sunday
(D)
Monday
(E)
Tuesday
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기
끝 상태(2012년 2월 7일 화요일)가 주어졌고 200년 전의 시작 상태를 찾아야 하므로 거꾸로 풀기가 정확히 들어맞는다. 핵심 원리는 같은 날짜가 해마다 요일을 얼마나 밀어내는지에 대한 주간 패턴이며, 그 200년 중 윤년이 몇 번인지 세는 것은 깔끔한 작은 문제이다. 게다가 답은 다섯 요일 중 하나이다.
1STEP 1
태어난 해 확정하기
빼면 태어난 해가 나온다.
2012 - 200 = 1812
200번의 기념일을 거슬러 올라간다는 것은 2월 7일은 그대로 둔 채 연도에서 200을 빼는 것이다.
4.OA.A.3Work Backwards2STEP 2
날짜가 해마다 요일을 미는 방식
평년은 요일을 하나 민다.
365 = 52 × 7 + 1, 366 = 52 × 7 + 2
온전한 주는 같은 요일로 되돌아오므로, 7로 나눈 나머지만 요일을 옮긴다.
온전한 주는 같은 요일로 돌아오므로, 7로 나눈 나머지만이 요일을 움직인다.
▸ 왜?
요일은 정확히 이레마다 되풀이되므로, 온전한 한 주는 아무것도 바꾸지 않는다.
주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
▸ 왜?
어떤 날수든 온전한 주와 나머지 하나로 갈라지며, 그 나머지만이 값을 지닌다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
3STEP 3
지나온 윤년 세기
윤년을 세려면 세기 규칙이 필요하다.
(2008 - 1812)/4 + 1 = 50, 50 - 1 = 49 (윤년), 200 - 49 = 151 (평년)
윤일만이 추가로 요일을 밀며, 100의 배수 규칙이 조용히 1900년을 제거한다.
4.OA.B.4Identify Subproblems4STEP 4
이동량을 더하고 거꾸로 세기
거꾸로 세면 금요일이다.
151 × 1 + 49 × 2 = 249, 249 = 7 × 35 + 4, 화요일 - 4 = 금요일
생일은 2012년의 화요일보다 요일이 4칸 앞이므로, 4일을 거꾸로 세면 그 날에 도달한다.
4.OA.A.3Work Backwards정답
금요일
총 이동량 249는 250에 가깝고, 250 = 7 x 35 + 5라면 5가 나오지만, 정확히 세면 나머지가 4이고 이는 화요일에서 4칸 뺀 금요일과 일치한다. 빠른 점검: 200년은 매년 약 28주가 조금 넘게 순환하며, 남는 4일은 작고 그럴듯하다. 금요일은 보기 중 하나이므로 답이 일관된다.
💡핵심 정리
먼 과거의 요일을 찾으려면, 날짜가 해마다 며칠씩 밀리는지 세고, 7로 나눈 나머지만 남긴 뒤, 그만큼 요일을 거꾸로 세면 된다.
- 태어난 해 확정하기
- 날짜가 해마다 요일을 미는 방식
- 지나온 윤년 세기
- 이동량을 더하고 거꾸로 세기