AMC 10 · 2012 · #13

학년 8 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicindependent-eventslinear-equations-one-var complementary-countingconvert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

네 번의 무작위 주사위 눈이 두 포물선의 계수가 된다. 두 곡선이 만날 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{25}{36}$

(C)

$\frac{5}{6}$

(D)

$\frac{31}{36}$

(E)

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

"적어도 한 점을 공유한다"는 표현은 전형적인 도구 #16 신호다. 성공하는 경우는 지저분하고 실패하는 경우는 하나의 깔끔한 조건이므로, 실패를 쫓아가 빼면 된다. 거기까지 가려면 준비 동작이 셋 필요하다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "점을 공유한다"는 기하적 표현을 정확한 방정식으로 옮긴다. 이때 번역은 양방향이어야 한다 — 공유점이 있으면 해가 있고, 해가 있으면 진짜 공유점이 되돌아 나온다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 이 문제 전체를 떠받치는 축이다. 최고차항 계수가 둘 다 1이므로 두 식을 빼면 x² 항이 사라지고, 포물선 대 포물선 문제가 하나의 일차방정식 (a-c)x = d-b로 줄어든다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 일차방정식이 가질 수 있는 세 가지 경우(해가 하나 / 모든 해 / 해 없음)로 나눈다. 두 곡선이 완전히 같아지는 경우를 슬쩍 넘기지 않고 여기서 확실히 처리한다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 주사위 두 개의 개수, 즉 순서쌍 36개 중 같은 것 6개와 다른 것 30개를 센다.

1STEP 1

공유점의 뜻부터 정하기

공유점은 방정식 하나를 만족한다.

공유점 존재 ⇔ ∃ x₀ ∈ R: x₀² + a x₀ + b = x₀² + c x₀ + d

2STEP 2

x² 항이 사라진다

제곱 항이 즉시 상쇄된다.

(x²+ax+b) - (x²+cx+d) = (a-c)x + (b-d) ⟹ (a-c)x = d-b

3STEP 3

일차방정식을 경우로 나누기

그 일차방정식에는 경우가 셋이다.

(a-c)x = d-b: a ≠ c → x = (d-b)/(a-c) (한 점); a=c, b=d → 같은 곡선; a=c, b ≠ d → 해 없음

4STEP 4

주사위 두 조건 세기

공유점이 없는 경우는 하나뿐이다.

P(a=c) = 6/36 = 1/6, P(b ≠ d) = 30/36 = 5/6

5STEP 5

독립인 두 부분 곱하기

그 두 조건은 서로 무관하다.

P(공유점 없음) = 1/6 · 5/6 = 5/36 = 180/1296

6STEP 6

1에서 빼기

1에서 빼면 31/36, 보기 (D).

1 - 5/36 = 36/36 - 5/36 = 31/36 = 1116/1296 → (D)

정답

31/36

실패하려면 (a,c)가 정확히 같고 동시에 (b,d)가 달라야 하므로 실패는 드물고 답은 1 바로 아래에 놓여야 한다. 이것만으로도 (A) 1/2, (B) 25/36, (C) 5/6가 걸러진다. 또 (E) 1도 될 수 없다. a=1, b=1, c=1, d=2라는 실제 굴림은 y = x²+x+1과 y = x²+x+2를 주는데, 이 둘은 항상 1만큼 떨어져 있어 결코 만나지 않기 때문이다. 정확한 계수가 결론을 확정한다: 실패는 6 × 30 = 180가지, 전체는 1296가지이므로 (1296-180)/1296 = 1116/1296 = 31/36이고 여집합 계산과 정확히 일치한다. 한 경우는 대충 넘기지 말고 다시 봐야 한다: a=c이고 b=d이면 두 포물선은 같은 곡선이다. "적어도 한 점을 공유한다"는 이때 참이다 — 모든 점을 공유하기 때문이다 — 따라서 그 36가지는 성공 쪽에 속하고, 경우 분석은 실제로 그렇게 처리했다. 만약 이것들을 빼버리면 (1116-36)/1296 = 1080/1296 = 5/6, 즉 보기 (C)가 되는데 이 문제는 바로 그 함정을 노리고 만들어졌다.

💡핵심 정리

두 곡선 모두 x²으로 시작하므로 서로 빼면 직선이 남고, 직선이 0을 비껴가는 것은 완전히 평평하면서 축에서 떠 있을 때뿐이다 — 그것이 바로 a=c이고 b ≠ d인 경우다.

공유점의 뜻부터 정하기
x² 항이 사라진다
일차방정식을 경우로 나누기
주사위 두 조건 세기
독립인 두 부분 곱하기
1에서 빼기