AMC 10 · 2012 · #15
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
이 문제 전체는 머릿속에서 종이를 한 번 마는 행위에 달려 있고, 그것이 바로 도구 #17(공간 상상하기)이다. 평평한 부채꼴이 원뿔로 말리고, 마는 동안 길이는 보존된다. 이 사실 하나가 두 가지를 동시에 확정한다 — 부채꼴의 직선 반지름은 원뿔의 '모선'이 되지(수직 높이가 아니다), 부채꼴의 호는 원뿔의 밑면 원이 된다. 이 짝짓기를 정확히 하는 것이 문제의 전부다. 이 문제의 오답은 거의 전부 12를 수직 높이로 착각하거나 두 원뿔이 닮음이라고 가정하는 데서 나온다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 작업을 네 조각으로 나눠 두 번 반복하게 한다: 호의 길이 → 밑면 반지름 → 수직 높이 → 부피. 도구 #4(변수 도입하기)는 원판에서 쓰는 비율 f 하나로 두 경우를 같은 식에 담게 해 주어, 계산을 다시 하지 않고도 답을 두 번째 방법으로 확인할 수 있게 한다. 도구 #14(극단의 원리)는 존재 확인을 담당한다. 부채꼴이 진짜 원뿔이 되려면 밑면 반지름이 모선 12보다 확실히 작아야 하며, 어느 쪽이 정말 작은 원뿔인지도 가정하지 않고 확인해 준다.
마는 동안 무엇이 보존되는지 보기
원판의 반지름이 각 원뿔의 모선이 된다.
종이를 말아도 길이는 그대로이므로, 원판의 반지름은 원뿔의 비스듬한 모선이 되고 부채꼴의 곡선 변은 밑면 원이 된다.
7.G.B.4Visualize Spatial Relationships각에 비례해 둘레 나누기
각이 둘레를 비례해서 나눈다.
호가 가장자리에서 차지하는 비율은 그 각이 한 바퀴에서 차지하는 비율과 같으므로, 각의 1/3은 둘레의 1/3을 가져간다.
호가 테두리에서 차지하는 몫은 그 각이 한 바퀴에서 차지하는 몫과 같다.
▸ 왜?
부채꼴이 원에서 차지하는 몫은 반지름과 상관없이 오직 그 각으로 정해진다.
▸ 왜?
테두리 전체는 2파이 곱하기 반지름이므로, 각의 몫이 곧 길이의 같은 몫이다.
호를 밑면 반지름으로 바꾸기
각 호가 밑면 반지름 4와 8을 준다.
호가 밑면 원이 되므로, 호의 길이를 2π로 나누면 곧바로 밑면 반지름이 나온다.
7.G.B.4Introduce A Variable원뿔이 존재하는지 확인하고 높이 구하기
두 원뿔이 실제로 존재하고 높이가 나온다.
꼭짓점을 지나 수직으로 자르면 원뿔은 두 변이 r, h이고 빗변이 12인 직각삼각형이 되며, 높이가 실제로 있으려면 r이 12보다 작아야 한다.
8.G.B.7Extreme Principle두 부피 계산하기
부피가 곧장 따라 나온다.
부피는 반지름을 두 번, 높이를 한 번 곱하므로 넓고 낮은 원뿔이 좁고 높은 원뿔을 이긴다.
8.G.C.9Identify Subproblems비를 만들고 정리하기
비를 정리하면 √10/10, 보기 (C).
두 부피가 공유하는 것은 전부 약분되고, 남은 근호를 유리화하면 선택지와 같은 꼴이 된다.
8.EE.A.2Introduce A Variable평평한 종이를 말아 원뿔을 만들면 직선 변은 비스듬한 모선이 되고 곡선 변은 밑면 원이 된다. 그래서 여기 두 원뿔은 모선이 똑같이 12이고, 결국 서로 닮음이 아니므로 부피를 비교하기 전에 각각의 높이를 피타고라스 정리로 따로 구해야 한다.
- 마는 동안 무엇이 보존되는지 보기
- 각에 비례해 둘레 나누기
- 호를 밑면 반지름으로 바꾸기
- 원뿔이 존재하는지 확인하고 높이 구하기
- 두 부피 계산하기
- 비를 만들고 정리하기
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