AMC 10 · 2013 · #2

학년 4 logiccounting

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문제

절반의 경기는 1점 차로 졌고, 나머지는 상대 점수의 두 배였다. 상대 점수의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 가능성 지우기

경기의 종류만 알면 그 경기에서 상대팀 점수는 바로 계산되므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 상대팀 총점을 두 덩어리 — 1점 차 패배 다섯 경기와 두 배 승리 다섯 경기 — 로 나눈다. 진짜 어려운 부분은 어느 점수가 어느 덩어리에 들어가는지 문제가 말해 주지 않는다는 점이고, 여기서 도구 #3 (가능성 지우기)이 핵심이 된다. 홀수 점수를 반으로 나누면 점수가 분수가 되어 버리므로 홀수는 두 배 경기에서 지워지고, 그다음 개수를 세면 두 배 경기 다섯 자리에 쓸 수 있는 짝수가 정확히 다섯 개뿐이라서 배치가 완전히 확정된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 검토 단계를 위해 남겨 둔다: 패배 경기 점수의 합에 이름을 붙이면 답 전체를 하나의 식으로 쓸 수 있어, 전혀 다른 방식의 확인이 된다.

1STEP 1

두 종류의 경기, 두 개의 상대 점수 공식

각 경기 종류가 자기 식을 준다.

1점 차 패배: o = s + 1 두 배 경기: s = 2o → o = s/2

2STEP 2

두 배 경기에는 짝수 점수가 필요하다

두 배 경기에는 짝수 점수가 필요하다.

o = s/2가 정수 ⇔ s 가 짝수 ⇔ s ∈ {2,4,6,8,10}

3STEP 3

짝수 다섯 개가 다섯 자리를 정확히 채운다

짝수 다섯이 다섯 자리를 정확히 채운다.

{두 배 경기 점수} ⊆ {2,4,6,8,10}, |{두 배 경기 점수}| = 5 = |{2,4,6,8,10}| → {두 배 경기 점수} = {2,4,6,8,10}

4STEP 4

두 덩어리의 합을 더하기

두 덩어리를 더하면 45, 보기 (C).

패배: 2+4+6+8+10 = 30 두 배: 1+2+3+4+5 = 15 30 + 15 = 45 → (C)

정답

열 경기를 모두 적어 하나씩 확인한다. 패배는 1–2, 3–4, 5–6, 7–8, 9–10으로 각각 정확히 1점 차 패배이다. 승리는 2–1, 4–2, 6–3, 8–4, 10–5로 각각 팀 점수가 정확히 두 배이다. 두 종류가 다섯 경기씩이고, 팀의 점수는 겹침 없이 정확히 1부터 10 까지이며, 상대팀 점수의 합은 2+4+6+8+10+1+2+3+4+5 = 45이다. 크기도 자연스럽다: 팀은 모두 55 점을 얻었고, 다섯 경기를 두 배로 이기고 다섯 경기를 1점 차로 진 팀이라면 자기 득점보다 조금 적게 내주는 것이 맞다. 대략적인 범위로도 확인된다: 어떻게 나누든 상대팀 총점은 (T+65)/2이고 여기서 T 는 패배 경기에서 팀이 얻은 점수의 합인데, T 는 1+2+3+4+5 = 15부터 6+7+8+9+10 = 40 사이이므로 상대팀 총점은 40과 52.5 사이여야 한다. 이것만으로도 홀짝 논증을 하기 전에 (A) 35와 (E) 55가 지워지고, 45는 그 안에 넉넉히 들어온다.

💡핵심 정리

홀수 점수의 절반은 정수가 아니므로 홀수 다섯 개는 1점 차 패배일 수밖에 없고, 남은 짝수가 정확히 다섯 개뿐이라 나머지 다섯 경기의 모습은 하나로 정해진다.

두 종류의 경기, 두 개의 상대 점수 공식
두 배 경기에는 짝수 점수가 필요하다
짝수 다섯 개가 다섯 자리를 정확히 채운다
두 덩어리의 합을 더하기