AMC 10 · 2013 · #24
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #16(관점 바꾸기, 여사건 세기)이 핵심이며 이유는 개수에 있다. 고른 세 길이는 여섯 가지 값에서만 나오므로 가능한 길이 패턴은 C(8, 3) = 56가지이고, 그중 46가지는 성립하고 10가지는 실패한다. 실패 열 가지를 나열하는 일은 감당할 만하지만, 성립하는 마흔여섯 가지를 나열하는 일은 실수를 부르는 계산이다. 도구 #14(극단의 원리)는 구조를 두 번 잘라 낸다. 한 번은 세 변 중 가장 긴 변에 걸린 부등식만 깨질 수 있다는 사실로, 또 한 번은 두 길이의 합이 이미 지름을 넘으면 결코 실패할 수 없다는 사실로, 경우 나누기를 시작하기도 전에 대부분을 없애 준다. 도구 #1(그림 그리기)은 길이가 여섯 가지뿐이라는 전제를 만들어 준다. 원의 현은 몇 칸을 건너뛰었는지에만 달려 있기 때문이다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 쌍들을 정해진 순서대로 훑고 각 패턴에 알맞은 개수를 붙인다. 정작 이 도구들이 아무 도움도 못 주는 지점이 하나 있다. 실패 중 두 가지는 아슬아슬한 차이가 아니라 정확한 등식이며, 그것은 오직 대수만이 판정할 수 있다.
건너뛴 칸 수가 정하는 여섯 가지 길이
건너뛴 칸 수가 길이를 여섯 가지만 만든다.
정십이각형을 자기 자신 위로 돌리면 같은 칸수만큼 떨어진 두 꼭짓점은 다시 그런 쌍으로 옮겨 가므로, 길이를 정하는 것은 칸수뿐이다.
다각형을 자기 위로 돌리면 어떤 두 꼭짓점도 같은 걸음 수만큼 떨어진 다른 짝으로 옮겨지므로, 중요한 것은 걸음 수뿐이다.
▸ 왜?
회전은 도형을 늘리지 않고 옮기므로, 현의 길이가 그대로 옮겨진다.
▸ 왜?
한 바퀴를 다 돌면 꼭짓점이 처음 자리로 돌아오므로, 짝을 구별하는 것은 걸음 수뿐이다.
여섯 길이를 정확히 적기
각 길이를 정확히 써 둔다.
현의 절반, 반지름, 중심에서 내린 수선이 직각삼각형을 이루므로 모든 현은 2Rsin(중심각의 절반)이다.
10.G-SRT.C.8Introduce A Variable길이별 선분 개수 세기
종류별로 세면 전체 경우가 나온다.
각 부류는 열두 개짜리 고리인데, 지름만은 원을 한 바퀴 도는 동안 같은 선분을 두 번씩 지나친다.
11.S-CP.B.9Make A Systematic List가장 긴 변만이 조건을 깨뜨릴 수 있다
조건을 깨뜨릴 수 있는 것은 가장 긴 변뿐이다.
가장 긴 변에 무엇을 더하든 이미 더 짧은 변을 넘어서므로, 남는 질문은 짧은 두 변이 힘을 합쳐 긴 변을 넘느냐뿐이다.
7.G.A.2Extreme Principle정확히 맞아떨어지는 두 등식
아슬아슬한 경우가 아니라 정확한 등식이 둘 나온다.
사인 두 개가 더해져 코사인 하나가 되는데, 하필 이 각들에서는 그 코사인이 같은 정십이각형의 또 다른 현과 정확히 일치한다.
11.F-TF.C.9Introduce A Variable가장 짧은 현이 없는 쌍
가장 짧은 현이 없는 쌍은 언제나 통과한다.
짧은 두 변이 정육각형과 정사각형의 현에까지 이르면 그 합은 이미 지름을 넘어섰고, 이 도형에 지름보다 긴 것은 없다.
9.A-SSE.A.2Extreme Principlea₁로 시작하는 쌍들의 경계 찾기
남은 경계는 하나씩 확인한다.
짧은 쌍마다 경계는 딱 하나, 더는 닿지 못하는 첫 길이이며, 그보다 긴 길이는 당연히 더 닿지 못한다.
9.A-SSE.A.2Make A Systematic List실패하는 열 가지 패턴에 개수 붙이기
실패하는 열 패턴의 합은 10080이다.
{1,1,6} 같은 패턴은 결과 하나가 아니라 결과 덩어리이므로, 패턴마다 실제로 뽑히는 가짓수만큼의 무게를 실어 주어야 한다.
7.SP.C.8Make A Systematic List여사건을 빼고 나누기
여사건을 빼면 223/286, 보기 (E).
실패하는 열 가지 패턴을 붙잡는 편이 성립하는 마흔여섯 가지를 붙잡는 것보다 훨씬 쉬우므로, 깨지는 쪽을 세고 나머지를 취한다.
11.S-CP.B.9Change Focus Count The Complement세 길이를 먼저 정렬하라. 깨질 수 있는 것은 짧은 두 개와 가장 긴 하나의 싸움뿐이다. 그리고 아슬아슬한 경우는 근호 그대로 따져라. 정십이각형에서는 그런 합 중 둘이 다른 길이에 정확히 내려앉고, 납작한 삼각형은 넓이가 없기 때문이다.
- 건너뛴 칸 수가 정하는 여섯 가지 길이
- 여섯 길이를 정확히 적기
- 길이별 선분 개수 세기
- 가장 긴 변만이 조건을 깨뜨릴 수 있다
- 정확히 맞아떨어지는 두 등식
- 가장 짧은 현이 없는 쌍
- a₁로 시작하는 쌍들의 경계 찾기
- 실패하는 열 가지 패턴에 개수 붙이기
- 여사건을 빼고 나누기