AMC 10 · 2013 · #4

학년 8 algebra

문제

분수의 분자와 분모에 같은 두 거대한 거듭제곱이 더해지고 빼져 있다. 그 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1

(B)

(C)

$\frac{5}{3}$

(D)

2013

(E)

$2^{4024}$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

지수 2014와 2012가 어려움의 원인처럼 보이지만 사실은 미끼다. 끝까지 쓰이는 사실은 두 지수의 차가 2 라는 것 하나뿐이다. 그래서 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)가 맞다: 적을 수도 없는 거듭제곱을 작은 덩어리 하나로 바꾼 같은 모양의 분수로 대체한다. 바꾸는 일은 도구 #4 (변수 도입하기)가 한다: 공통 거듭제곱을 x=2²⁰¹²로 이름 붙이면 분자와 분모는 4x+x 와 4x-x 가 된다. 이 문제가 실제로 걸려 있는 단계는 공통인수 x 를 약분하는 것이고, 그 약분은 x ≠ 0 일 때만 정당하다. 그래서 약분을 전혀 쓰지 않는 확인이 필요하다: 도구 #11 (거꾸로 풀기)로 값 자체를 미지수 t 로 놓고 일차방정식에서 되찾으면, 합을 인수분해하는 일이 한 번도 없다. 마지막으로 도구 #3 (가능성 지우기)으로 값이 1과 2 사이임을 보이면 그것만으로도 선택지가 하나만 남는다.

1STEP 1

두 지수는 2 만큼 차이 난다

두 지수의 차는 2뿐이다.

2²⁰¹⁴=2²⁰¹²⁺²=2² · 2²⁰¹²=4 · 2²⁰¹²

2STEP 2

공통 거듭제곱을 x 로 이름 붙이기

문자 하나가 공통 거듭제곱을 이름 짓는다.

x=2²⁰¹² ＞ 0, (2²⁰¹⁴+2²⁰¹²)/(2²⁰¹⁴-2²⁰¹²)=(4x+x)/(4x-x)

3STEP 3

x 를 묶어내고 약분하기

묶어내면 약분된다.

(4x+x)/(4x-x)=5x/3x=5/3

4STEP 4

약분 없이 확인하기

값은 5/3, 보기 (B).

a/b=(t+1)/(t-1), a/b=2²⁰¹⁴⁻²⁰¹²=4 → t+1=4t-4 → t=5/3

정답

5/3

선택지는 크기만으로도 좁힐 수 있는데, 이는 느낌이 아니라 독립적인 확인이다. b=2²⁰¹² ＞ 0 이므로 분자는 5b, 분모는 3b 로 둘 다 양수이고 값도 양수다. 따라서 (A) -1은 탈락한다. 5b ＞ 3b 이므로 값은 1 보다 크고 (B) 1도 탈락한다. 또 5b ＜ 6b=2 · 3b 이므로 값은 2 보다 작고, 2 보다 훨씬 큰 (D) 2013과 (E) 2⁴⁰²⁴도 탈락한다. 1과 2 사이에 있는 선택지는 5/3 하나뿐이므로 이 범위만으로 (C)가 강제되고, 실제로 5/3≈ 1.67이 그 사이에 있다. 수치 확인도 일치한다: 2014와 2012 대신 지수 4와 2를 쓰면 (16+4)/(16-4)=20/12=5/3이다. 다만 이 작은 경우는 위에서 이미 증명한 항등식의 확인일 뿐 믿는 근거가 아니다 — 증명은 차가 2 인 어떤 지수에 대해서도 성립한다. 미끼 선택지도 설명된다: (E)는 지수를 잘못 더했을 때 나오는 값이고 (D)는 그냥 연도다.

💡핵심 정리

밑이 같은 거듭제곱을 더하거나 뺄 때는 작은 쪽을 공통인수로 묶어내자. 그것이 약분되어 사라지고 남는 것은 두 지수의 차뿐이다.

두 지수는 2 만큼 차이 난다
공통 거듭제곱을 x 로 이름 붙이기
x 를 묶어내고 약분하기
약분 없이 확인하기