AMC 10 · 2014 · #23
학년 8 number-theorypattern답을 골라 클릭하세요.
1을 9801로 이백 자리까지 손으로 나누는 것은 계획이라고 할 수 없다. 들어가는 길은 1/9²=1/81이다. 두 자리씩이 아니라 한 자리씩 끊는, 똑같은 구조의 문제다. 이것은 0.012345679로 전개되어 0,1,2,…를 세다가 끝 근처에서 하나를 건너뛴다. 여기서 두 자리 버전의 답, 즉 00,01,02,…,97,99에서 98만 빠진 형태를 짐작할 수 있다. 하지만 짐작은 풀이가 아니고, 바로 이 지점에서 순진한 세기 논증이 새어 나간다. 숫자 0,1,2,3,…를 두 자리 칸에 차례로 적어 넣는 방식은 숫자가 100에 도달하는 순간 칸에 들어가지 않아 무너지고, 답 전체가 그때 생기는 받아올림이 어디에 떨어지느냐에 달려 있다. 그래서 짐작을 정확한 주장으로 바꾸어 대수로 확인한다. 길이 n인 순환마디 B가 맞을 필요충분조건은 9801 · B=10ⁿ-1이고, 이 식 하나는 자리를 밀어 빼는 계산 한 번으로 검증된다. 무한급수도, 얼버무린 받아올림도 필요 없다. 마지막으로 순환마디를 더 줄일 수 없다는 사실을 증명하는 것은 바로 그 숫자 합 자신이므로, 주기 문제도 가정이 아니라 답으로 마무리된다.
순환마디를 식 하나로 바꾸기
순환마디는 깔끔한 식 하나다.
소수점을 정확히 한 주기만큼 밀면 꼬리가 그대로이므로 순환마디가 식 하나에 갇힌다.
소수점을 온전한 한 주기만큼 밀어도 꼬리는 그대로이므로, 그 덩어리가 하나의 식에 갇힌다.
▸ 왜?
10의 거듭제곱을 곱하면 모든 자릿수가 그만큼 밀릴 뿐 어느 것도 달라지지 않는다.
▸ 왜?
끝없는 두 꼬리가 똑같으므로, 빼면 그 덩어리를 정확히 가리키는 유한한 수가 남는다.
한 자리 버전을 먼저 시험하기
더 단순한 경우가 패턴을 시사한다.
손으로 나눌 수 있을 만큼 문제를 줄인 뒤, 그 모양을 한 자리 넓혀 그대로 옮긴다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem짐작한 수에 99를 곱하기
다시 곱하면 짐작이 정리된다.
두 자리씩 묶어 읽으면 괴물 같던 수가 모든 칸의 답이 1인 99칸짜리 뺄셈으로 바뀐다.
4.NBT.B.4Organize Information In More Ways99를 한 번 더 곱하기
한 번 더 곱하면 정확히 증명된다.
99를 곱하는 쉬운 계산 두 번이 9801을 곱하는 불가능한 계산 한 번을 대신한다.
8.EE.A.1Convert To Algebra순환마디의 숫자 더하기
자릿수를 더하면 883이다.
00부터 99까지 전부 세는 것은 대칭이라 쉽고, 빼낼 덩어리는 하나뿐이다.
3.OA.D.9Make A Systematic List198이 가장 짧은 주기임을 보이기
소수성 논증이 그 주기가 가장 짧음을 보인다.
마디가 몰래 반복된다면 숫자 합이 똑같이 쪼개져야 하는데, 소수인 합은 쪼개지기를 거부한다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities1/99²은 두 자리씩 세어 올라가다가 00,01,02,…,97 다음에 99로 건너뛴다. 그래서 숫자 합은 00부터 99까지 전부인 900에서 건너뛴 98을 뺀 883이다.
- 순환마디를 식 하나로 바꾸기
- 한 자리 버전을 먼저 시험하기
- 짐작한 수에 99를 곱하기
- 99를 한 번 더 곱하기
- 순환마디의 숫자 더하기
- 198이 가장 짧은 주기임을 보이기