AMC 10 · 2014 · #25
학년 10 geometry-2dnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
이 포물선은 기울어져 있어서 x, y에 대한 식이 지저분한 이차곡선이 되고, 그 위의 격자점을 직접 찾는 것은 가망이 없다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 초점-준선 정의를 다항식으로 바꿔 주지만, 진짜 결정타는 도구 #15(다르게 정리하기)다: m=4x+3y, n=3x-4y로 평면에 새 이름을 붙이는 것이다. 이 둘은 아무렇게나 고른 것이 아니다 — 4x+3y는 조건이 재는 양이고, 3x-4y는 준선이 재는 양이며, 항등식 (4x+3y)²+(3x-4y)²=25(x²+y²)은 이 둘이 거리 제곱을 이루는 두 조각임을 말해 준다. (m,n)이라는 이름 아래에서 이차곡선은 m²=50n+625이라는 관계식 하나로 무너진다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 문제를 서로 독립된 두 질문 — 어떤 m이 곡선 위에 있는가, 그중 어떤 것이 정수 x,y를 돌려주는가 — 으로 나누고, 도구 #4(변수 도입하기)가 살아남은 것들을 정수 매개변수 k 하나로 묶는다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 범위 안의 k를 나열해 끝낸다.
정의로부터 준선 찾기
주어진 두 점이 준선을 정한다.
초점에서 같은 거리인 두 점은 준선에서도 같은 거리여야 하고, 초점에 대해 대칭으로 놓인 한 쌍에 대해 그럴 수 있는 직선 방향은 하나뿐이다.
초점에서 같은 거리에 있는 두 점은 준선에서도 같은 거리에 있어야 하며, 그런 방향은 하나뿐이다.
▸ 왜?
곡선 위의 모든 점은 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같으므로, 두 거리가 함께 움직인다.
▸ 왜?
주어진 두 점에서 같은 거리에 있는 점은 한 점을 다른 점 위로 접는 선 위에 있으며, 그것이 방향을 정한다.
같은 거리를 식으로 바꾸기
거리가 같다는 것이 방정식 하나를 준다.
같은 거리 두 개는 제곱해도 여전히 같고, 제곱이야말로 거리 조건을 다항식 조건으로 바꿔 주는 장치다.
10.G-GPE.A.2Convert To Algebram과 n으로 평면에 새 이름 붙이기
평면에 새 이름을 붙이면 단순해진다.
문제가 이미 말하고 있는 두 식으로 평면에 이름을 붙이면, 곡선이 그 둘에 대해 간단한 말을 하기 시작한다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Waysx와 y를 정수로 되돌리기
정수 좌표가 나누어떨어짐 사슬을 강제한다.
t와 t+5는 5의 배수이거나 함께 아니거나 둘 중 하나이므로, 그 곱이 25를 품으려면 애초에 5가 t를 나누어야 한다.
6.NS.B.4Identify Subproblems격자점 하나에 홀수 k 하나
각 홀수 매개변수가 정확히 하나의 격자점을 준다.
격자점마다 정수 이름표 하나가 붙는 순간, 점을 세는 일은 이름표를 세는 일과 같아진다.
9.A-REI.C.6Introduce A Variable범위 안의 홀수 k 세기
세면 40, 보기 (B).
1부터 39까지 홀수는 2씩 스무 걸음이고, 음수 쪽이 그 수를 그대로 두 배로 만든다.
6.NS.C.7Make A Systematic List문제가 이미 말하고 있는 두 식 4x+3y와 3x-4y로 평면에 새 이름을 붙이면, 기울어진 포물선이 격자점 하나당 홀수 하나로 바뀌어 점을 세는 일이 -39부터 39까지의 홀수를 세는 일이 된다.
- 정의로부터 준선 찾기
- 같은 거리를 식으로 바꾸기
- m과 n으로 평면에 새 이름 붙이기
- x와 y를 정수로 되돌리기
- 격자점 하나에 홀수 k 하나
- 범위 안의 홀수 k 세기