AMC 10 · 2015 · #24
학년 11 probability답을 골라 클릭하세요.
cos(aπ)와 sin(bπ)를 삼각함수 그대로 두면 네제곱의 구조가 보이지 않는다. 두 값을 x, y로 이름 붙이고 전개한 뒤 인수분해하면 허수부가 곱의 꼴이 되고, 곱이 0이 되는 경우는 어떤 인수가 0일 때뿐이다. 이렇게 하면 '실수가 된다'는 모호한 조건이 빠짐없는 네 개의 정확한 방정식으로 바뀐다. 어려운 지점은 그다음의 |x| = |y|다. 여기서 소수로 값을 비교하는 것은 소용이 없다. cosπ/5 ≈ 0.809와 sin2π/5 ≈ 0.951처럼 눈대중으로는 같은지 다른지 증명할 수 없기 때문이다. 그래서 이 방정식을 분수 a, b에 관한 정확한 조건으로 바꾼다. 여코사인 관계식과 '코사인이 같으려면 각이 반사와 한 바퀴 차이까지 일치해야 한다'는 사실을 쓰면 된다. 조건이 'a+b 또는 a-b가 홀수의 절반'으로 정리되고 나면, 나머지는 a와 b의 기약분모가 전부 결정한다. 마지막으로 0이 되는 경우와 크기가 같아지는 경우가 겹치므로, 나누기 전에 겹침을 합쳐야 한다.
20개짜리 후보 집합 만들기
후보 집합에 값이 20개다.
겉모습이 다른 분수가 같은 수를 가리킬 수 있으므로, 표기 방법이 아니라 수직선 위의 점을 세어야 한다.
10.S-CP.A.1Make A Systematic List네제곱 전개하기
전개하면 허수부가 분리된다.
x와 y가 실수이면 전개한 항이 실수 쪽 아니면 허수 쪽 한곳에 떨어지고, 실수가 되는 것을 방해할 수 있는 쪽은 허수 쪽뿐이다.
11.N-CN.A.2Introduce A Variable허수부 인수분해하기
그것이 세 가지 단순한 조건으로 인수분해된다.
식이 곱의 꼴이 되면 0이 되는 길은 인수 하나가 0이 되는 것뿐이라, 숨는 경우가 없다.
허수부가 곱으로 적히고 나면, 0이 되는 길은 어느 인수가 0이 되는 것뿐이다.
▸ 왜?
0이 아닌 수들의 곱은 결코 0이 아니므로, 숨을 수 있는 경우가 없다.
▸ 왜?
복소수가 실수인 것은 세로 좌표가 0일 때뿐이므로, 그 부분이 시험의 전부다.
두 종류의 0 찾기
그중 둘은 쉬운 영점이다.
각이 한 바퀴 도는 동안 코사인은 두 번, 사인은 두 번 0을 지나가고, 그 네 지점은 서로 다르다.
11.F-TF.A.2Introduce A Variable0이 들어간 쌍 세기
그것이 76 쌍을 설명한다.
겹치는 두 무리를 그냥 더하면 겹친 부분을 두 번 계산하게 되므로 한 번 빼 준다.
10.S-CP.B.7Change Focus Count The Complement크기가 같다는 조건을 정확한 계산으로 바꾸기
셋째는 정확한 산술이 된다.
코사인의 크기가 같으려면 각이 반사와 한 바퀴 차이까지 맞아야 하고, 이는 소수가 아니라 분수에 관한 사실이다.
11.F-TF.C.9Convert To Algebra분모로 걸러내기
분모로 걸러 24 쌍이 더해진다.
한쪽 분모에 숨은 소수는 다른 분수가 같은 소수를 갖고 있지 않으면 덧셈 뒤에도 살아남으므로, 삼각함수 값을 계산하기도 전에 분모가 대부분의 쌍을 걸러낸다.
7.NS.A.1Identify Subproblems겹침을 합치고 나누기
합치고 나누면 6/25, 보기 (D).
겹치는 경우는 나누기 전에 합쳐야 한다. 그러지 않으면 같은 쌍을 두 번 값 치르게 된다.
11.S-CP.B.9Change Focus Count The Complement먼저 전개하고 인수분해하라. 허수부가 곱의 꼴이 되면 실수라는 조건은 인수 하나가 0이라는 말이 되고, 그 작은 방정식들은 각각 소수 비교가 아니라 분수에 대한 정확한 판정으로 바뀐다.
- 20개짜리 후보 집합 만들기
- 네제곱 전개하기
- 허수부 인수분해하기
- 두 종류의 0 찾기
- 0이 들어간 쌍 세기
- 크기가 같다는 조건을 정확한 계산으로 바꾸기
- 분모로 걸러내기
- 겹침을 합치고 나누기