AMC 10 · 2015 · #14

학년 8 geometry-2d
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Geometric Area via Inclusion-Exclusion or Area Balance
area-circlesequilateral-trianglearea-difference area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesequilateral-triangle
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
겹친 두 도형을 서로 바깥에 있는 부분으로 비교한다. 그 차를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$8-\pi$
(B)
$\pi+2$
(C)
$2\pi-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(D)
$4(\pi-\sqrt{3})$
(E)
$2\pi-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
풀이 과정
전략 벤 다이어그램 그리기

겹치는 두 도형은 평면을 정확히 벤 다이어그램이 다루는 조각들로 나눈다. 원에만 속한 부분, 삼각형에만 속한 부분, 둘 다에 속한 부분. 이것이 도구 #12다. 지정된 두 영역을 이 언어로 다시 쓰면 문제는 단순한 계산 정리로 바뀌고, 겹친 조각은 뺄셈 과정에서 저절로 사라진다. 아무도 묻지 않은 어려운 부분에서 시선을 돌리는 도구 #16이다. 도구 #1도 제 몫을 한다. 간단히 그려 봐야 두 도형이 실제로 겹친다는 것과 어느 넓이가 더 큰지, 즉 답의 부호를 알 수 있기 때문이다. 소거 후에 남는 것은 서로 독립적인 두 개의 넓이 계산이므로, 도구 #7로 하나씩 나누어 처리한다. 마지막으로 도구 #3으로 정확한 식을 다섯 개의 선택지와 맞춘다. 여기서는 선택지 두 개의 수치가 가까워서 이 단계가 실제로 중요하다. 계획 전체가 하나의 구조적 사실에 기대고 있으므로, 아래 풀이가 정직하게 세워야 할 것도 바로 그 사실이다. 겹친 부분은 두 영역에 똑같은 방식으로 들어가고, 차를 구하면 그것이 없어진다. 합을 구했다면 없어지지 않는다.

1STEP 1

그림을 세 조각으로 나누기

각 부분은 전체에서 겹침을 뺀 것이다.

[원에만] = [C] - S, [삼각형에만] = [T] - S
2STEP 2

빼면 겹친 부분이 사라진다

빼면 겹침이 상쇄된다.

([C]-S)-([T]-S) = [C]-[T]
3STEP 3

원 전체의 넓이

원의 넓이는 4π다.

[C] = π · 2² = 4π ≈ 12.57
4STEP 4

삼각형 전체의 넓이

삼각형의 넓이는 4√3이다.

h=√(4²-2²)=2√(3), [T]=1/2 · 4 · 2√(3)=4√(3)≈ 6.93
5STEP 5

합쳐서 선택지와 맞추기

그 차는 보기 (D)다.

[C]-[T] = 4π-4√(3) = 4(π-√(3)) ≈ 5.64 → (D)
정답
4(π-√(3))
확인은 두 가지다. 먼저 부호. 원은 약 12.57, 삼각형은 약 6.93을 덮으므로 원 쪽 영역이 더 커야 하고 차는 양수여야 한다. 4(π-√(3)) ≈ 5.64는 양수이니 맞는다. 다음으로 모든 무게를 지고 있는 단계, 즉 소거가 정말 구조적인지 시험해 보자. 원의 반지름을 1로 줄이고 실제 겹친 부분으로 다시 계산한다. 공유 부분은 반지름 1인 60° 부채꼴이 되어 넓이가 π/6이고, 원에만 속한 부분은 π-π/6=5π/6, 삼각형에만 속한 부분은 4√(3)-π/6이다. 두 값의 차는 5π/6-4√(3)+π/6=π-4√(3)으로, 이번에도 원 넓이에서 삼각형 넓이를 뺀 값이다. 이번에는 삼각형이 더 크므로 음수가 된다. 소거는 이 숫자들의 우연이 아니라 구조에서 나온다. 소수 비교만으로 확인하려 할 때는 조심해야 한다. 선택지 (C)는 약 5.58, (E)는 약 5.42로 둘 다 5.64와 0.25 이내에 있어서 어림값만으로는 구별되지 않는다. 선택지를 가르는 것은 정확한 식이다.
💡핵심 정리

두 도형이 겹칠 때 한쪽 '에만' 영역에서 다른 쪽 '에만' 영역을 빼면 공유하는 가운데가 사라지므로, 필요한 것은 두 도형 전체의 넓이뿐이다.

  • 그림을 세 조각으로 나누기
  • 빼면 겹친 부분이 사라진다
  • 원 전체의 넓이
  • 삼각형 전체의 넓이
  • 합쳐서 선택지와 맞추기

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