AMC 10 · 2015 · #16
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 통째로 접기 문제이므로, 먼저 접기가 무엇을 보장하는지 봐야 한다. 여섯 삼각형의 꼭짓점은 모두 같은 한 점에 도착해야 하고, 여섯 개의 빗변은 각각 길이 8을 그대로 유지한다. 그것이 보이면 각뿔의 부피 공식이 문제를 서로 독립적인 두 개의 작은 문제로 쪼개 준다(작은 문제로 쪼개기): 육각형 밑면의 넓이, 그리고 밑면 위 꼭짓점의 높이. 까다로운 쪽은 높이다. 공식은 삼각형의 비스듬한 길이가 아니라 진짜 수직 높이를 넣을 때만 맞기 때문이다. 그래서 먼저 꼭짓점이 육각형 중심 바로 위에 있다는 것을 증명하고, 그 다음 서로 다른 두 직각삼각형에서 높이를 두 번 계산해(다르게 정리하기) 밑면의 수평 변을 올바르게 짝지었는지 확인한다.
접기가 무엇을 강제하는지 보기
접으면 모든 모선이 같아진다.
종이는 접어도 늘어나지 않으므로 전개도에서의 8은 완성된 각뿔에서도 여전히 8이다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships육각형을 중심에서부터 재기
육각형을 중심에서부터 잰다.
정육각형은 중심 둘레에 부채처럼 펼쳐진 정삼각형 여섯 개이므로 반지름이 한 변과 같다.
정육각형은 중심을 둘러싼 정삼각형 여섯 개이므로, 반지름이 한 변과 같다.
▸ 왜?
중심에서 같은 각 여섯 개가 한 바퀴를 채우므로, 각 조각은 정확히 60도로 열린다.
▸ 왜?
두 변이 같고 그 사이 각이 60도인 조각은 나머지 한 변도 같다.
밑면 넓이 더하기
그 넓이는 54√3이다.
육각형을 똑같은 정삼각형 여섯 개로 자르면 넓이는 쉬운 넓이 하나의 여섯 배일 뿐이다.
6.G.A.1Identify Subproblems꼭짓점이 중심 위에 있음을 증명하기
모선이 같아 꼭짓점이 중심 위에 놓인다.
빗모서리가 모두 같으면 꼭짓점의 그림자가 모든 꼭짓점에서 같은 거리여야 하므로 꼭짓점은 축 위로 밀려난다.
8.G.B.7Visualize Spatial Relationships높이를 서로 다른 두 방법으로 구하기
두 방법이 같은 높이를 준다.
각뿔의 비스듬한 길이는 모두 빗변이고, 각각에는 밑면 위에 짝이 되는 수평 변이 정확히 하나씩 있다.
8.G.B.7Organize Information In More Ways곱해서 부피 구하기
곱하면 36√21, 보기 (C).
평평한 밑넓이와 진짜 수직 높이를 따로 떼어 놓고 나면 부피는 곱셈 한 번이다.
10.G-GMD.A.3Identify Subproblems접어도 모서리 길이는 그대로이므로 여섯 꼭짓점이 중심 위 한 점에 모이고, 각뿔의 높이는 비스듬한 8에 밑면의 알맞은 수평 거리를 짝지었을 때 나오는 나머지 변이다.
- 접기가 무엇을 강제하는지 보기
- 육각형을 중심에서부터 재기
- 밑면 넓이 더하기
- 꼭짓점이 중심 위에 있음을 증명하기
- 높이를 서로 다른 두 방법으로 구하기
- 곱해서 부피 구하기
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