AMC 10 · 2015 · #20
학년 8 patternnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
2015 이라는 번호는 허풍입니다. 그 높이에서는 아무것도 직접 계산할 수 없으므로, 진짜 목표는 행에서 행으로 가는 기계와 그것이 자리 잡는 모양입니다. 먼저 도구 #15(다르게 정리하기)입니다. 정의를 믿고 쓰려면 먼저 다시 정리해야 하기 때문입니다 — f(i,j) = f(i-1,f(i,j-1))는 순환처럼 보이므로, 순환이 아니라는 것과 i 행이 오직 i-1 행에만 의존한다는 것을 먼저 보여야 합니다. 다음으로 도구 #4(변수 도입하기)로 각 행을 {0,1,2,3,4} 위의 함수 R_i 로 이름 붙입니다. 그 언어로 옮기면 규칙 전체가 한 문장으로 줄어듭니다 — i 행은 1 에서 출발해 R_i-1을 계속 적용하는 산책의 처음 다섯 정거장입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 0 행부터 5 행까지 계산하고, 더 중요하게는 행이 무너지는 이유를 드러냅니다: 1을 지나는 산책이 점점 짧아지다가 아예 움직이지 않게 됩니다. 마지막으로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 간격을 메워, 2015 행 문제를 'f(i,1) 이라는 한 칸이 다시는 바뀌지 않는다'는 훨씬 쉬운 주장으로 바꿉니다.
규칙이 순환이 아님을 확인
규칙은 근거가 있고 순환이 아니다.
언제나 아래쪽 아니면 왼쪽만 가리키는 정의는 결코 자기 꼬리를 물 수 없습니다.
8.F.A.1Organize Information In More Ways각 행을 함수로 읽기
각 행은 거듭 적용되는 함수로 읽힌다.
한 행은 다섯 개의 따로 노는 사실이 아니라, 아래 행을 따라 걷는 산책 하나를 다섯 번 찍은 사진입니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable0, 1, 2 행은 아직 재배열
처음 몇 행은 아직 재배열이다.
5를 법으로 0이 아닌 일정한 폭만큼 더하면 모든 값이 움직이므로, 산책은 멈출 수 없고 다섯 값을 다 들릅니다.
다섯 개의 순환 위에서 0이 아닌 일정한 걸음을 더하면 모든 것이 움직이므로, 그 걸음은 다섯 값을 모두 지난다.
▸ 왜?
5로 나눈 나머지만이 걸음이 닿는 자리를 정하므로, 그 걸음은 다섯 점의 고리 위에 산다.
▸ 왜?
그 고리를 일정한 걸음으로 돌면 한 바퀴를 다 돌아야 처음으로 돌아오므로, 가는 길에 빠지는 것이 없다.
3 행에서 균형이 깨진다
한 행 뒤에 그것이 깨진다.
고정점을 가진 규칙은 다섯 값을 한 고리로 쓸어 담을 수 없으므로, 그다음 행은 겹치고 무언가를 잃을 수밖에 없습니다.
8.EE.C.7Look For A Pattern산책이 짧아지다 멈춘다
산책이 짧아지다 멈춘다.
각 행의 산책은 앞 행의 것보다 짧아지고, 가장 짧은 산책은 아예 움직이지 않는 산책입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern얼어붙은 한 칸이 모든 행을 잠근다
얼어붙은 한 칸이 이후 모든 행을 잠근다.
산책의 출발점이 자기 자신으로 가는 순간, 기계는 그 값만 되돌려 줄 수 있습니다.
8.F.A.1Look For A Pattern2015 행에 착지하기
따라서 먼 칸은 1이다, 보기 (B).
과정이 한번 잠기고 나면, 잠긴 뒤로는 큰 번호나 작은 번호나 드는 품이 똑같습니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem규칙이 자기 출력을 계속 다시 집어넣는다면, 자기 자신으로 가는 입력을 찾으세요. 과정이 고정점에 내려앉는 순간 그곳을 떠날 수 없으므로, 2015 행은 5 행보다 손이 더 가지 않습니다.
- 규칙이 순환이 아님을 확인
- 각 행을 함수로 읽기
- 0, 1, 2 행은 아직 재배열
- 3 행에서 균형이 깨진다
- 산책이 짧아지다 멈춘다
- 얼어붙은 한 칸이 모든 행을 잠근다
- 2015 행에 착지하기