AMC 10 · 2015 · #25
학년 11 geometry-2dpattern답을 골라 클릭하세요.
2015번의 비행을 하나씩 더하는 것은 불가능하고, 거리가 계속 늘어나므로 비행 자체는 반복되지 않는다. 하지만 방향은 반복된다. 12 × 30^°=360^°이므로 등장하는 방향은 열두 개뿐이다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 열두 방향을 한 그림에 그리면 더 깊은 사실이 보인다. 여섯 칸 떨어진 방향은 정반대이므로 열두 방향을 모두 더하면 mathbf 0이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 열두 단위방향을 u₀,…,u₁₁이라 이름 붙이면 한 번의 비행은 (거리) × u_j가 되고 전체 여정은 하나의 합이 된다. 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심이다. 비행을 열두 개씩 묶어 블록으로 자르면, 블록 안의 거리는 (블록 시작)+j 꼴이고 (블록 시작) 부분은 열두 방향의 합에 곱해지는데 그 합이 mathbf 0이다. 그래서 나선이 아무리 커져도 열두 번의 비행마다 벌은 똑같은 벡터만큼 움직인다. 이로써 2015번의 비행이 짧은 밀기 하나를 168번 반복하는 문제로 바뀐다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 2015가 12의 배수가 아니라는 불편함을 처리한다. 168개의 깔끔한 블록인 P₂₀₁₆까지 일부러 지나친 뒤, 지나친 그 한 번의 비행을 되돌린다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 항을 다시 짝지어 열두 번의 밀기를 정확한 좌표로 바꾸는 계산을 맡는다.
비행에 번호 붙이기
각 도약은 길이 곱하기 방향이다.
비행 번호, 비행 길이, 비행 방향이 함께 하나씩 올라가므로 지표 k 하나가 전체 비행 계획을 지배한다.
9.F-IF.A.3Introduce A Variable열두 방향, 여섯 쌍의 정반대
방향은 열둘뿐이고 정반대 짝을 이룬다.
반 바퀴를 돌면 방향이 뒤집히므로, 바퀴살 열두 개는 정반대인 여섯 쌍으로 상쇄된다.
반 바퀴를 돌면 방향이 뒤집히므로, 열두 개의 살이 반대되는 여섯 짝으로 지워진다.
▸ 왜?
한 바퀴가 열두 방향에 고르게 나뉘므로, 반 바퀴는 정확히 그 가운데 여섯이다.
▸ 왜?
어떤 걸음에 그 반대되는 걸음을 더하면 아무것도 남지 않으므로, 그런 짝은 움직임을 보태지 않는다.
열두 번마다 똑같은 밀기
열두 번마다 같은 밀기를 준다.
각 길이를 "블록 시작"과 "블록 안 위치"로 쪼개면, 몇 번째 블록인지에 의존하는 부분이 전부 사라진다.
9.A-SSE.A.2Look For A Pattern그 밀기를 정확히 재기
그 밀기를 정확히 잰다.
어떤 비행과 여섯 번 뒤의 비행은 방향이 정반대이고 길이 차이가 정확히 6이므로, 그 짝은 그냥 뒤로 6인치 가는 것이다.
10.G-SRT.C.6Organize Information In More Ways블록 168개로 P₂₀₁₆까지
온전한 블록만 타면 딱 떨어지는 지점에 닿는다.
2016은 열두 개짜리 블록으로 딱 떨어지므로, 거기까지 가는 것은 똑같은 밀기를 168번 반복한 것뿐이다.
7.NS.A.2Look For A Pattern여분의 비행 되돌리기
여분의 도약 하나를 되돌려 바로잡는다.
P₂₀₁₆까지는 쉬우니, 일부러 한 번 더 가고 나서 그 한 번을 되돌린다.
10.G-SRT.C.6Work Backwards출발점까지의 거리
두 좌표가 같게 나온다.
두 변이 같으면 거리는 한 변의 √2배, 곧 정사각형의 대각선이다.
8.G.B.8Draw A Diagram요구된 꼴에 맞추기
꼴에 맞추면 2024, 보기 (A).
√2·√3=√6이 하나의 곱을 문제가 요구하는 제곱인수 없는 두 조각으로 정확히 갈라준다.
11.N-RN.A.2Introduce A Variable30^°씩 열두 번 돌면 방향이 그대로 제자리로 돌아오므로, 2015번의 비행을 열두 개씩 잘라 보자. 길어지는 거리가 서로 상쇄되어 모든 블록이 벌을 똑같은 만큼만 밀고, 똑같은 밀기 168개는 더하기 쉽다.
- 비행에 번호 붙이기
- 열두 방향, 여섯 쌍의 정반대
- 열두 번마다 똑같은 밀기
- 그 밀기를 정확히 재기
- 블록 168개로 P₂₀₁₆까지
- 여분의 비행 되돌리기
- 출발점까지의 거리
- 요구된 꼴에 맞추기