AMC 10 · 2016 · #11
학년 8 counting답을 골라 클릭하세요.
문제는 "못한다" 쪽 수를 주지만 묻는 것은 학생이 가진 재능이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 각 수를 먼저 뒤집는다. 노래를 못하는 42명은 노래를 할 수 있는 58명이 되는 식이다. 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)는 핵심 구조를 눈에 보이게 한다. 세 원이 모두 겹치는 가운데 영역이 비고 세 원 바깥도 비므로, 모든 학생은 재능이 하나인 영역이나 둘인 영역에 놓인다. 이어서 도구 #4(변수 도입하기)로 그 두 무리의 크기에 이름을 붙이고, 도구 #15(다르게 정리하기)로 같은 캠프를 사람이 아니라 재능 기준으로 한 번 더 센다. 그러면 세 재능 합계가 두 번째 방정식이 된다. 미지수 둘, 방정식 둘로 끝난다. 여섯 영역을 하나씩 쫓는 방법은 훨씬 번거롭고, 사실 가능하지도 않다. 주어진 자료로는 각 영역이 하나로 정해지지 않고 합계만 정해지기 때문이다.
"못한다"를 "할 수 있다"로 뒤집기
각 보고가 재능 인원으로 뒤집힌다.
재능이 있음과 없음이 유일한 두 경우이므로, 두 수가 정확히 학생 100명을 채운다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement모든 학생은 재능이 하나 아니면 둘
모두가 정확히 하나나 둘의 재능을 가진다.
세 개 모두 영역과 하나도 없는 영역을 지우면 다이어그램에는 하나짜리와 둘짜리 부분만 남는다.
4.OA.A.3Draw A Venn Diagram두 무리의 크기에 이름 붙이기
인원 수가 방정식 하나다.
두 무리는 겹치지 않고 남는 학생도 없으므로, 크기의 합이 캠프 전체가 된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable같은 캠프를 재능 기준으로 세기
재능으로 세는 것이 둘째다.
세 재능 명단을 모두 더하면 학생은 가진 재능 수만큼 세어지므로, 100을 넘는 초과분이 바로 재능 두 개짜리 학생 수다.
세 재능 목록을 더하면 각 학생이 지닌 재능 수만큼 세어진다.
▸ 왜?
겹치는 무리를 세면 공유된 사람이 속한 무리마다 한 번씩 세어진다.
▸ 왜?
따라서 인원수를 넘어선 만큼이 정확히 한 번 더 세어진 학생의 수다.
두 방정식을 빼기
빼면 64, 보기 (E).
재능 수는 사람 수보다 재능 두 개짜리 학생 한 명당 딱 하나씩 더 많으므로, 초과분 164 - 100이 곧 그 학생 수다.
8.EE.C.8Introduce A Variable"못한다"를 모두 "할 수 있다"로 뒤집어 세 재능 합계 164를 구하면, 세 재능을 모두 가진 학생은 없으므로 100을 넘는 64가 바로 재능이 둘인 학생 수다.
- "못한다"를 "할 수 있다"로 뒤집기
- 모든 학생은 재능이 하나 아니면 둘
- 두 무리의 크기에 이름 붙이기
- 같은 캠프를 재능 기준으로 세기
- 두 방정식을 빼기