AMC 10 · 2016 · #13

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements
probability-basicratio-proportionfloor-function bound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
표시된 것 하나가 여럿 사이에 무작위로 놓이고 치우침 조건이 깨져야 한다. 가장 작은 크기의 자릿수를 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
12
(B)
14
(C)
16
(D)
18
(E)
20
풀이 과정
전략 관점 바꾸기

초록 공은 서로 똑같으므로 무작위 배열은 빨간 공이 어디로 끼어드는지로 전부 정해진다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이를 모델로 만든다: 초록 공 N개를 늘어놓으면 빨간 공은 N+1개의 틈 중 하나에 떨어지고, 각 틈은 똑같이 가능하다. 그러면 P(N)은 (유리한 틈)/(N+1)일 뿐이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 N=5k라 쓰면 기준 3/5N=3k가 깔끔한 정수가 되어 틈을 세기 쉽다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 P(N) ＜ 321/400을 k에 대한 부등식으로 바꾸면 가장 작은 k가 나오고, 거기서 N=5k와 자리 숫자의 합이 따라 나온다.

1STEP 1

빨간 공을 틈에 떨어뜨리는 것으로 바꾸기

순서가 아니라 틈만 중요하다.

결과 수=N+1, L∈{0,1,…,N}, 오른쪽 무더기=N-L
2STEP 2

조건을 만족하는 틈 세기

되는 틈을 세는 것은 단순하다.

L ≥ 3k: 2k+1 개; L ≤ 2k: 2k+1 개; 유리한 틈=4k+2
3STEP 3

확률을 쓰고 점검하기

주어진 끝값이 식을 검증한다.

P(N)=(4k+2)/(5k+1); k=1→6/6=1; k→∞→4/5
4STEP 4

k에 대한 부등식 풀기

조건은 단순한 부등식 하나다.

400(4k+2) ＜ 321(5k+1)→ 479 ＜ 5k→ k ＞ 95.8→ k=96
5STEP 5

N을 구하고 자리 숫자 더하기

그 자릿수 합은 12, 보기 (A).

N=5 · 96=480, 4+8+0=12→(A)
정답
12
식 P(N)=(4k+2)/(5k+1)은 문제가 준 두 기준(P(5)=1과 극한 4/5)을 모두 만족하므로 유리한 틈의 셈을 믿을 수 있다. P(N)이 4/5=0.8 쪽으로 줄어들고 321/400=0.8025가 0.8 바로 위에 있으므로, 경계를 넘는 지점은 큰 N에서 일어나며 이는 N=480과 맞는다. 경계 확인: k=95에서 382/476=0.8025…로 321/400 미만이 아니지만, k=96에서 386/481≈ 0.8025가 그보다 작아져 N=480이 처음으로 아래로 내려가는 값임이 확인된다.
💡핵심 정리

초록 공이 똑같으니 빨간 공의 틈만 중요하다. 충분히 큰 무더기를 남기는 틈을 세어 확률을 k에 대한 분수로 쓰고 부등식을 풀면 N=480, 자리 숫자의 합 12에 도달한다.

  • 빨간 공을 틈에 떨어뜨리는 것으로 바꾸기
  • 조건을 만족하는 틈 세기
  • 확률을 쓰고 점검하기
  • k에 대한 부등식 풀기
  • N을 구하고 자리 숫자 더하기

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