AMC 10 · 2016 · #20
학년 7 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
순환을 정면으로 세는 것은 어렵지만, 세 팀으로 이루어진 모든 묶음은 정확히 두 가지 모양 중 하나에 속한다. 세 결과가 고리를 이루거나(순환), 아니면 묶음 안의 한 팀이 나머지 두 팀을 모두 이긴다(이 팀을 '으뜸' 팀이라 하자). 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)은 어려운 질문을 쉬운 뺄셈으로 바꾼다: 순환 = 전체 묶음 − 으뜸 팀이 있는 묶음. 순환이 아닌 묶음은 으뜸 팀이 정확히 하나뿐이라 세기 쉬우므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 팀을 으뜸 팀으로 두고 그 팀이 이긴 팀 중 둘을 고르며 헤아린다. 도구 #1(그림 그리기)로 화살표를 그리면 두 모양이 눈에 보여 이 구분이 설득력을 얻고, 도구 #4(변수 도입하기)로 먼저 팀이 몇 개인지부터 정한다.
팀이 몇 개인지 구하기
전적이 참가자를 21로 정한다.
한 팀의 승수와 패수의 합은 그 팀이 상대한 모든 팀이 되므로, 팀의 개수를 거저 알려준다.
6.EE.B.7Introduce A Variable세 팀으로 된 모든 묶음 세기
모든 세 팀 묶음은 1330이다.
순서 있는 선택을 센 뒤 겹치는 순서를 나눠 없애면, '세 개의 집합이 몇 개냐' 하는 물음이 곱셈 하나와 나눗셈 하나가 된다.
7.SP.C.8Make A Systematic List묶음이 가질 수 있는 두 모양만 보기
묶음의 모양은 둘뿐이다.
세 팀 사이에 일방향 화살표 세 개가 있으면, 고리를 이루거나 누군가 두 경기를 다 이기거나 둘 중 하나이며, 제3의 경우는 없다.
세 팀 사이의 한 방향 화살표 셋은 고리를 이루거나 누군가 두 경기를 다 이기거나이며, 세 번째 길은 없다.
▸ 왜?
모든 세 팀은 정확히 두 모양 가운데 하나에 들므로, 개수를 그냥 더하면 된다.
▸ 왜?
고리가 아니라면 어떤 팀이 나머지 둘을 모두 이겼어야 하며, 달리 남는 길이 없다.
순환이 아닌 묶음 세기
순환이 아닌 것은 세기 쉽다.
순환이 아닌 묶음마다 나머지 둘을 모두 이긴 팀이 정확히 하나이므로, 그 팀을 기준으로 분류하면 모든 묶음을 한 번씩 센다.
7.SP.C.8Make A Systematic List빼서 순환을 구하기
빼면 385, 보기 (A).
두 깔끔한 갈래가 전체를 나눌 때는, 지저분한 쪽을 직접 세기보다 한쪽을 세고 빼는 편이 빠르다.
7.NS.A.3Change Focus Count The Complement세 팀으로 된 모든 묶음은 고리를 이루거나 한 팀이 나머지 둘을 이기거나 둘 중 하나이니, 세기 쉬운 '한 팀이 으뜸인' 묶음을 세서 전체에서 빼면 고리가 나온다.
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