AMC 10 · 2017 · #17

학년 12 algebra

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

roots-of-unitycomplex-polar-formparity systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: complex-numbersroots-of-unity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1의 거듭제곱근 방정식의 모든 해를 어떤 거듭제곱 한다. 실수가 되는 것의 수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

a + bi 꼴로 적으면 24개의 해는 제곱근으로 가득한 지저분한 수이고, 그중 하나를 손으로 여섯 제곱하는 것은 사실상 불가능합니다. 그런데 같은 24개의 수에는 두 번째 저장 방식이 있습니다. 각각을 단위원 위의 점으로 보고 각도로 기록하는 것입니다. 이 형식에서는 두 수를 곱하는 일이 각도를 더하는 일이 되므로, 여섯 제곱은 정수 하나에 대한 곱셈 한 번으로 줄어듭니다. 그래서 계획은 이렇습니다. 각 해를 각도로 다시 정리하고, 그 각도를 지표 변수로 이름 붙이고, "z⁶이 실수"를 지표에 대한 단순한 조건으로 번역한 다음, 그 조건을 만족하는 지표를 셉니다.

1STEP 1

해에 지표로 이름 붙이기

지표가 모든 해를 이름 짓는다.

z_k = cos((π k)/12) + i sin((π k)/12), k = 0, 1, …, 23

2STEP 2

정이십사각형으로 그려 보기

그것들이 원 둘레에 고르게 놓인다.

2π/24 = π/12 radians = 15° between neighbouring points

3STEP 3

여섯 제곱은 각도의 곱셈

거듭제곱은 각을 곱한다.

z_k⁶ = cos((π k)/2) + i sin((π k)/2)

4STEP 4

"실수"를 식 하나로 번역하기

실수라는 것은 하나의 사인 방정식이다.

z_k⁶ ∈ R ⇔ sin((π k)/2) = 0

5STEP 5

조건을 k에 대해 풀기

그것은 지표가 짝수일 때만 성립한다.

(π k)/2 = mπ ⇔ k/2 = m ⇔ k is even

6STEP 6

짝수 지표 세기

그것을 세면 12, 보기 (D).

k ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22}, count = 24/2 = 12

정답

두 종류의 지표를 하나씩 확인해 봅시다. k = 1이면 여섯 제곱의 각도가 π/2이므로 z⁶ = i이고 실수가 아닙니다. 주장대로 홀수 지표는 탈락합니다. k = 2이면 각도가 π이므로 z⁶ = -1이고 실수입니다. 짝수 지표는 통과합니다. 양극단의 선택지도 바로 지워집니다. z = 1이 분명히 통과하므로 (A) 0은 불가능하고, 방금 k = 1이 탈락했으므로 (E) 24도 불가능합니다. 함정은 (C) 6입니다. 이는 z⁶ = 1인 z만 세고 z⁶ = -1도 실수라는 사실을 잊은 값이며, 두 배 하면 12가 되어 우리 답과 맞습니다. 더 작은 판으로도 모양이 확인됩니다. z⁸ = 1에서 z²의 각도 역시 (π k)/2이므로 짝수 k만 통과하고, 이는 해 8개 중 4개, 즉 여기서와 같은 절반입니다.

💡핵심 정리

복소수를 원 위의 각도로 저장하면 거듭제곱이 각도의 곱셈이 되고, 그러면 문제는 정수에 대한 질문으로 바뀝니다.

해에 지표로 이름 붙이기
정이십사각형으로 그려 보기
여섯 제곱은 각도의 곱셈
"실수"를 식 하나로 번역하기
조건을 k에 대해 풀기
짝수 지표 세기