AMC 10 · 2017 · #7
학년 4 algebra답을 골라 클릭하세요.
재귀적 정의는 한 값이 앞선 값들에 어떻게 기대는지만 알려 주므로, 앞에서부터 나아가서는 2017에서의 값에 닿을 수 없습니다 — 이천 개가 넘는 값을 먼저 계산해야 하니까요. 도구 #11 (거꾸로 풀기)이 딱 맞습니다: f(2017)에서 출발해 규칙이 가리키는 앞선 값으로 계속 바꿔 나가다가, 곧바로 주어진 유일한 값인 f(1) = 2에 사슬이 닿으면 멈추면 됩니다. 그다음 실제 계산은 도구 #5 (패턴 찾기)가 맡습니다. 사슬이 매번 같은 크기의 걸음을 딛는다는 것이 드러나기 때문입니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)는 손으로 확인할 수 있을 만큼 짧은 사슬에서 세는 방법을 미리 연습하게 하고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)는 전체 사슬의 번호들을 일일이 걸어가야 할 대상이 아니라 셀 수 있는 대상으로 바꿔 줍니다.
2017이 어떤 규칙을 켜는지 보기
찾는 입력이 둘째 규칙을 켠다.
정의는 스위치가 두 개 달린 기계이고, 어느 스위치가 켜지는지는 입력이 홀수냐 짝수냐가 정합니다.
4.OA.C.5Work Backwards사슬은 홀수 밖으로 나가지 않는다
사슬이 홀수에 머문다.
홀수에서 2를 빼도 홀수이므로, 사슬이 홀수에서 시작한 이상 짝수 규칙의 영역으로는 결코 떨어질 수 없습니다.
홀수에서 2를 빼도 여전히 홀수이므로, 홀수로 시작한 사슬은 결코 짝수 규칙으로 떨어지지 않는다.
▸ 왜?
짝수를 빼도 어떤 수가 홀수인지 짝수인지는 결코 달라지지 않는다.
▸ 왜?
따라서 모든 걸음이 같은 크기로 내려가며, 사슬 전체가 고르게 늘어선 목록이 된다.
짧은 사슬에서 세는 법 연습하기
짧은 사슬이 단계를 세는 법을 보여 준다.
그릴 수 있을 만큼 짧은 사슬에서 세는 규칙을 확인한 뒤, 그리기엔 너무 긴 사슬에서 그 규칙을 믿습니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem2017에서 내려오는 화살표 세기
시작까지 단계가 1008번이다.
걸음 수를 세는 것은 전체 거리를 한 걸음의 크기로 나누는 것입니다.
4.NBT.B.6Make A Systematic List모든 +2를 더하기
더하면 2018, 보기 (B).
같은 걸음을 1008번 반복하는 것은 그 걸음에 1008을 곱하는 것과 같습니다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern규칙이 2017을 2015로 되돌려 보낸다면 그 사슬은 홀수에만 내려앉을 수 있습니다 — 그러니 기준값에 닿기까지 몇 걸음인지 세고, 한 걸음이 더하는 양을 곱하세요.
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- 사슬은 홀수 밖으로 나가지 않는다
- 짧은 사슬에서 세는 법 연습하기
- 2017에서 내려오는 화살표 세기
- 모든 +2를 더하기