AMC 10 · 2019 · #20

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicgeometric-probabilitycaseworkconditional-probabilityfraction-arithmetic caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicgeometric-probabilityconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

0과 1 사이의 수 하나를 이렇게 만듭니다. 공정한 동전을 던져 앞면이면 한 번 더 던져 앞면에는 0, 뒷면에는 1을 얻습니다. 뒷면이면 0과 1 사이에서 고르게 무작위로 뽑습니다. 두 번째 수도 같은 방식으로 독립하게 만듭니다. 두 수의 차의 절댓값이 2분의 1보다 클 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{7}{16}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{9}{16}$

(E)

$\frac{2}{3}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (x 의 분기) × (y 의 분기)로 네 가지 경우 — 독립이라 각 확률 1/4. 도구 #2(빠짐없이 나열): 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등) 모두 나열. 도구 #1(그림): 균등-균등 경우에는 단위정사각형 위에 |x-y| ＞ 1/2 영역(두 모서리 직각삼각형) 칠하기. 도구 #9(더 쉬운 문제): 각 경우가 작은 문제로 깔끔히 정리, 합치는 건 가중합.

1STEP 1

네 경우로 나누기

두 수의 제조 방식이 네 경우를 만듭니다.

P(DD) = P(DU) = P(UD) = P(UU) = 1/4

2STEP 2

둘 다 끝값일 때

둘이 다를 확률은 절반입니다.

P(· ∣ DD) = 1/2

3STEP 3

한쪽만 끝값일 때

이 경우도 절반이 됩니다.

P(· ∣ DU) = 1/2

4STEP 4

반대쪽만 끝값일 때

대칭이라 값이 같습니다.

P(· ∣ UD) = 1/2

5STEP 5

둘 다 균등할 때

넓이로 재면 4분의 1입니다.

P(· ∣ UU) = 2 · 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/4

6STEP 6

네 경우 합치기

평균을 내면 16분의 7입니다.

P = 1/4(1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/4) = 7/16

정답

7/16

7/16 ≈ 0.44로 1/2 보다 작음. 직관: x, y 둘 다 균등이면 1/4만 나오지만, 이산 분기가 x 나 y 를 0 이나 1 끝점으로 끌어와 다른 값과 1/2 초과 벌어지기 쉽게 만들어 확률을 끌어올림. 1/4와 1/2 사이가 정확히 예상 범위. 분수 검산: 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/4 = (2+2+2+1)/4 = 7/4, 1/4 · 7/4 = 7/16. 선택지 (D) 9/16은 여사건 P(|x-y| ≤ 1/2) 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 7학년 확률 모델과 단위정사각형 기하 확률만 있으면 풀려요 — 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등)로 나눠 조건부 확률 1/2, 1/2, 1/2, 1/4를 얻은 뒤 평균: 1/4(1/2+1/2+1/2+1/4) = 7/16.