AMC 10 · 2019 · #21

학년 11 algebra

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

complex-numbersroots-of-unitymodular-arithmeticexponentsperfect-squares pattern-recognitioneasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: complex-numbersexponents

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 복소수 z가 1 더하기 i를 루트2로 나눈 값입니다. k가 1부터 12까지 갈 때 z의 k제곱의 제곱승을 모두 더하고, 같은 범위에서 그 역수도 모두 더한 뒤 두 합을 곱하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$72-36\sqrt2$

(C)

(D)

(E)

$72+36\sqrt2$

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): z¹⁴⁴를 직접 계산하는 사람은 없어요. 대신 z²을 구하면 한 줄이고, 나머지 거듭제곱은 전부 여기서 만들어져요. 도구 #5(패턴 찾기): 작은 거듭제곱을 보면 z⁸ = 1 이라서 z 의 거듭제곱이 길이 8의 주기로 돌고, 지수를 8로 나눈 나머지만 중요해요. 지수는 제곱수인데, 제곱수를 8로 나눈 나머지도 짧은 블록으로 반복돼요. 도구 #15(다르게 정리하기): 합을 왼쪽부터 읽지 말고 열두 항을 나머지별로 묶으면 대부분이 상쇄돼요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 두 인수를 따로 처리한 뒤 마지막에 짧아진 결과 둘만 곱해요.

1STEP 1

z 를 a + bi 로 읽기

z를 실수부와 허수부로 읽습니다.

z = 1/√(2) + 1/√(2) i, |z| = 1

2STEP 2

제곱해서 근호 없애기

제곱하면 근호가 사라집니다.

z² = ((1+i)²)/(√(2))² = (1 + 2i + i²)/2 = 2i/2 = i

3STEP 3

거듭제곱은 8 마다 반복

거듭제곱이 여덟마다 반복됩니다.

z² = i, z⁴ = -1, z⁸ = 1 ⟹ zⁿ = z^ n mod 8

4STEP 4

제곱수 mod 8: 1, 4, 1, 0

제곱수의 나머지는 네 값만 돌아옵니다.

k² mod 8 : 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, 0

5STEP 5

첫 번째 합 묶기

첫 합이 하나의 항으로 접힙니다.

Σ_k=1¹² z^k² = 6z + 3(-1) + 3(1) = 6z

6STEP 6

두 번째 합은 거울상

둘째 합은 그 거울상입니다.

Σ_k=1¹² 1/z^k² = 6/z + 3(-1) + 3(1) = 6/z

7STEP 7

곱하면 약분

곱하면 약분되어 36입니다.

6z · 6/z = 36 · z/z = 36 → (C)

정답

먼저 크기 점검: 모든 항의 절댓값이 1 이니 각 합의 절댓값은 최대 12, 곱은 최대 144 — 36은 그 안에 넉넉히 들어와요. 직접 확인: 6z = 6 · (1+i)/√(2) = 3√(2) (1+i), 6/z = 6 · (1-i)/√(2) = 3√(2) (1-i) 이므로 곱은 9 · 2 · (1+i)(1-i) = 18 · (1 - i²) = 18 · 2 = 36. 실수가 나올 수밖에 없었던 이유도 있어요 — 두 합이 서로 켤레라서 곱이 |6z|² = 36 이에요. 오답 선택지는 정확히 상쇄를 놓친 결과예요. 나머지 4 인 항이 -1 인 걸 잊고 여섯 항을 모두 +1로 세면 (6z + 6)(6/z + 6) = 72 + 36(z + 1/z) = 72 + 36√(2), 선택지 (E). 부호를 반대로 놓으면 72 - 36√(2), 선택지 (B). 둘 중 어느 쪽에서든 교차항을 빠뜨리면 72, 선택지 (D).

💡핵심 정리

드무아브르는 필요 없어요 — z 를 제곱해 i 를 얻고, z⁸ = 1이라 거듭제곱이 8 마다 반복된다는 걸 보고, 1, 4, 9, …, 144를 8로 나눈 나머지가 1, 4, 1, 0 블록의 반복임을 확인하면, +1과 -1이 상쇄돼 두 거대한 합이 6z 와 6/z로 줄고 그 곱은 36 이에요.

z 를 a + bi 로 읽기
제곱해서 근호 없애기
거듭제곱은 8 마다 반복
제곱수 mod 8: 1, 4, 1, 0
첫 번째 합 묶기
두 번째 합은 거울상
곱하면 약분