AMC 10 · 2019 · #13
학년 8 probability probability-basicsymmetry-argumentsequences-geometriccomplementary-counting complementary-countingpattern-recognition ↑ 선수 지식: probability-basicsequences-geometric
📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
빨간 공과 초록 공을 1번, 2번, 3번으로 이어지는 통에 독립적으로 던집니다. 각 공이 k번 통에 들어갈 확률은 2의 마이너스 k제곱입니다. 빨간 공이 초록 공보다 번호가 큰 통에 들어갈 확률을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1}{4}$
(B)
$\frac{2}{7}$
(C)
$\frac{1}{3}$
(D)
$\frac{3}{8}$
(E)
$\frac{3}{7}$
풀이 과정
전략 관점 바꾸기
도구 #16 (관점 바꾸기): R ＞ G 의 경우를 직접 합산하는 것은 번거로움 — 동점 확률 P(R = G)와 대칭을 이용. 도구 #15 (다르게 정리): 세 사건 R ＞ G, R ＜ G, R = G 가 표본공간 분할. 도구 #5 (패턴): 동점 확률은 4^-k의 등비급수.
1STEP 1
대칭성 알아채기
두 방향의 확률이 같습니다.
P(R ＞ G) = P(R ＜ G) = p
빨강이 이기는 경우와 초록이 이기는 경우는 거울상 — 확률 같음.
7.SP.C.7Organize Information In More Ways2STEP 2
세 경우로 나누기
세 경우가 전체를 이룹니다.
P(R ＞ G) + P(R ＜ G) + P(R = G) = 1
세 가지 중 정확히 하나만 일어남.
7.SP.C.7Organize Information In More Ways3STEP 3
같은 통에 들어갈 확률
같은 통일 확률을 급수로 씁니다.
P(R = G) = Σ_k=1^∞ 4^-k
동점이 가장 세기 쉬운 경우 — 상자 하나를 고정하면 됨.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement4STEP 4
급수 계산하기
등비급수를 더합니다.
P(R = G) = 1/4/(1 - 1/4) = 1/3
등비급수 합 공식: 초항 / (1 - 공비).
각 항이 앞 항의 일정한 몫인 합은 짧은 공식 하나로 접힌다.
▸ 왜?
각 판은 앞 판에 같은 배율을 곱한 것이며, 그래서 목록이 등비가 된다.
일정한 비면 어느 항이든 닿는다목록이 매 걸음 같은 수로 곱해지면 어떤 항이든 처음 값에 그 수를 되풀이해 곱한 것이므로, 목록 전체가 두 수로 정해진다.
▸ 왜?
줄어드는 등비급수의 합은 첫 항을 1 빼기 공비로 나눈 값이다.
줄어드는 등비급수는 유한한 합을 가진다각 항이 앞 항의 같은 비율이면, 끝없는 합은 첫 항을 1 빼기 그 비율로 나눈 값에 자리 잡는다.
5STEP 5
남은 확률 구하기
나머지를 반으로 나누면 3분의 1입니다.
2p + 1/3 = 1 → p = 1/3
p 에 대한 일차방정식 한 단계 — 대칭 트릭 적중.
6.EE.B.7Change Focus Count The Complement정답
1/3
세 결과 (빨강 승, 초록 승, 동점) 각각 확률 1/3 — 깔끔하게 대칭. 처음 몇 동점으로 확인: (1,1), (2,2), (3,3), … 의 합 1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 1/3. ✓. 그리고 빨강 승 사건 (R,G) = (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), … 를 직접 합산: Σ_g=1^∞ 2^-g · 2^-g = 1/3. ✓.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 8학년 때 배운 지수 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대칭에 의해 빨강 승과 초록 승의 확률이 같고, 동점은 1/3 (등비급수). 따라서 P(R ＞ G) = (1 - 1/3)/2 = 1/3. 답은 (C).