AMC 10 · 2019 · #14

학년 6 number-theory

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

divisor-countprime-factorizationcombinatorial-identityexponents complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: divisor-countprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 집합이 십만의 모든 양의 약수로 이루어집니다. 그 집합의 서로 다른 두 원소를 곱해 만들 수 있는 서로 다른 수가 몇 개인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

117

(D)

119

(E)

121

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): 모든 후보 값(10¹⁰의 약수 11 · 11 = 121 개)을 나열한 후 서로 다른 두 약수의 곱으로 표현 불가능한 것을 빼기. 도구 #7 (쪼개기): 곱은 2^a · 5^b 형태이므로 "어떤 (a, b) 쌍이 도달 가능한가" 로 문제 분할. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 100 = 2² · 5² 같은 작은 경우로 먼저 확인.

1STEP 1

후보 개수 세기

지수 두 개의 범위가 후보를 줍니다.

후보 = 11 · 11 = 121

2STEP 2

조건을 지수로 쓰기

두 원소가 달라야 합니다.

a₁ + a₂ = A, b₁ + b₂ = B, 0 ≤ a_i, b_i ≤ 5, (a₁,b₁) ≠ (a₂,b₂)

3STEP 3

가장 작은 곱 확인

1은 같은 원소를 두 번 써야 나옵니다.

2⁰ · 5⁰ = 1 (불가능 — (0,0) · (0,0) 로 강제)

4STEP 4

가장 큰 곱 확인

가장 큰 곱도 같은 이유로 불가능합니다.

2¹⁰ · 5¹⁰ (불가능 — 둘 다 10⁵)

5STEP 5

양 끝 지수 확인

한쪽 지수만 극단인 경우도 막힙니다.

2¹⁰ (불가능 — 둘 다 32)

6STEP 6

나머지 극단 확인

반대쪽도 대칭으로 막힙니다.

5¹⁰ (불가능 — 둘 다 3125)

7STEP 7

불가능한 경우 모으기

막히는 경우는 넷뿐입니다.

불가능 = {(0,0), (10,0), (0,10), (10,10)}, |불가능| = 4

8STEP 8

빼서 마무리

빼면 117입니다.

121 - 4 = 117

정답

117

117은 선택지 100과 119 사이, 정확히 121 - 4. 121은 100,000²의 약수 개수, 4는 쌍둥이 분해만 가능한 모서리 개수. 작은 경우 확인: 100 = 2² · 5²의 경우 — 약수 9 개, 후보 (2 · 2 + 1)² = 25, 같은 4 모서리 — 답 21 (직접 나열과 일치).

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 6학년 때 배운 소인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 10⁵의 모든 약수는 2^a · 5^b 이므로 곱은 10¹⁰의 약수 121 개 중 하나, 네 "모서리" 만 서로 다른 쌍 조건 불충족. 121 - 4 = 117. 답은 (C).