AMC 10 · 2021 · #16
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
항이 너무 많아 전부 적을 수 없으므로, 목록을 셀 수 있는 형태로 다시 정리해야 한다. 쓸모 있는 재정리는 값을 따라가기를 멈추고 자리(위치)를 따라가는 것이다. 목록이 이미 정렬되어 있으므로 각 값 n은 연속된 자리 한 덩어리를 통째로 차지하고, 중요한 것은 한가운데 자리가 어느 덩어리에 들어가는지뿐이다. 그러면 문제 전체가 누적 합 1 + 2 + … + n의 문제로 바뀌고, 이 누적 합에는 변수로 이름 붙일 만한 패턴이 있다. 한가운데 자리가 구체적인 수로 정해지면 알맞은 덩어리를 찾는 일은 미지수 하나를 탐색하는 일이 되고, 누적 합이 거의 제곱수 모양이므로 제곱근이 아주 좋은 첫 추측이 되며 정확한 계산 두 번으로 확인할 수 있다.
목록의 길이 세기
전체 길이가 삼각수입니다.
가장 작은 개수와 가장 큰 개수를 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아지므로, 곱셈 한 번이 이백 번의 덧셈을 대신한다.
가장 작은 개수와 가장 큰 개수를 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아져, 곱셈 한 번이 합 전체를 대신한다.
▸ 왜?
고르게 늘어선 목록에서 안쪽으로 옮기면 한쪽이 오른 만큼 다른 쪽이 내려간다.
▸ 왜?
개수가 같은 간격으로 오르며, 그래서 목록이 고르게 늘어선다.
중앙값을 자리 번호로
중앙값은 가운데 두 자리의 평균입니다.
정렬된 목록에서 중앙값은 값이 아니라 자리 번호이므로, 자료를 들여다보는 대신 자리를 세면 된다.
6.SP.B.5Organize Information In More Ways덩어리마다 자리 범위 적기
각 덩어리의 자리 범위를 적습니다.
누적 합은 "여기에 어떤 수가 앉아 있나"를 "어떤 누적 합이 이 자리 번호를 처음 넘어서나"로 바꿔 준다.
7.EE.B.4Introduce A Variable제곱근으로 어림하기
제곱근으로 어느 덩어리인지 어림합니다.
연속한 두 수의 곱은 거의 완전제곱수이므로, 제곱근은 알맞은 덩어리에서 한 칸 이내에 떨어진다.
8.NS.A.2Solve An Easier Related Problem후보 덩어리 확인
두 자리가 같은 덩어리에 들어가 답은 142입니다.
한가운데 두 자리가 한 덩어리 안에 함께 들어가면 중앙값은 그 덩어리의 값 그대로이고, 서로 다른 두 수를 평균 낼 일이 없다.
6.EE.A.2Guess And Check값마다 반복 횟수가 다를 때 중앙값은 값을 들여다봐서가 아니라 자리를 세어서 정해진다. 절반 지점의 자리를 처음 넘어서는 누적 합을 찾아라.
- 목록의 길이 세기
- 중앙값을 자리 번호로 바꾸기
- 각 덩어리의 자리 범위 적기
- 제곱근으로 n 어림하기
- 후보 덩어리 두 개 확인하기