AMC 10 · 2021 · #13

학년 11 algebra

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

periodic-functiontrigonometric-ratiossign-analysisgraph-reading bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblemsextreme-principle ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiosperiodic-function

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

0보다 크고 2파이 이하인 각 중에서 느린 사인 파동과 빠른 코사인 파동을 섞은 식이 0이 되는 각이 몇 개인지 세세요. 해의 개수는 빠른 파동이 느린 파동을 몇 번 만나는지와 같습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기)가 주력 — 이 방정식은 대수적으로 깔끔하게 풀리지 않습니다. cos 3θ 를 전개하면 cosθ 의 삼차식이 나오고 거기에 sinθ 가 얽혀서 답이 식 속에 묻혀버립니다. 그림은 그렇지 않습니다. 도구 #15 (다르게 정리하기)가 그림을 가능하게 만듭니다: 방정식 하나를 y = 5cos 3θ (빠름, 진폭 5)와 y = 3sinθ - 1 (느림, 진폭 3, 아래로 1 이동)로 쪼개면 해가 교점이 됩니다. 도구 #14 (극단의 원리)가 개수를 확정시켜 줍니다: 느린 곡선은 -4 ≤ y ≤ 2 라는 띠를 절대 벗어나지 못하는데, 빠른 파동은 모든 마루와 골에서 ± 5까지 넘어가므로 반드시 그 띠를 뚫고 지나갑니다. 그다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 구간을 빠른 곡선의 단조로운 반파동 6 개로 잘라, 반파동 하나씩 교점을 셉니다.

1STEP 1

두 파동이 만나는 문제로

식을 두 파동의 교차로 봅니다.

5cos 3θ = 3sinθ - 1

2STEP 2

느린 쪽 가두기

느린 쪽이 좁은 범위에 갇힙니다.

-1 ≤ sinθ ≤ 1 → -4 ≤ 3sinθ - 1 ≤ 2

3STEP 3

빠른 파동의 극값 보기

빠른 파동의 진폭이 훨씬 큽니다.

주기 = 2π/3, θ = kπ/3 (k = 0,…,6), 5cos 3θ = 5, -5, 5, -5, 5, -5, 5

4STEP 4

부호가 번갈아 바뀜

극값에서 부호가 번갈아 바뀝니다.

f(kπ/3) ≥ 3 (k 짝수), f(kπ/3) ≤ -1 (k 홀수)

5STEP 5

단조성 확인하기

극값 사이에서는 단조라 해가 하나뿐입니다.

f'(θ) = -15sin 3θ - 3cosθ, lvertsin 3θrvert ＞ 1/5 → 15lvertsin 3θrvert ＞ 3 ≥ lvert 3cosθrvert

6STEP 6

경계 확인하기

구간 끝도 확인합니다.

lvert frvert ≥ 1 - 6 · arcsin1/5/3 ＞ 1 - 0.41 = 0.59 ＞ 0

7STEP 7

반주기 세기

반주기마다 하나씩이라 6개입니다.

6 개의 반파동 × 1 개의 해 = 6 → (D)

정답

cos 3θ 가 {1, 0, -1}이 되고 sinθ 도 표준값이 되는 좋은 각 θ = kπ/6 (k = 0, …, 12) 열세 곳에서 부호표를 만들어 봅니다. 값은 차례로 6, -1/2, 1 - 3√(3)/2 - 5, -2, 6 - 3√(3)/2, -1/2, -4, 5/2, 6 + 3√(3)/2, 4, 1 + 3√(3)/2 - 5, 5/2, 6, 즉 부호는 +, -, -, -, +, -, -, +, +, +, -, +, +. 부호 변화가 정확히 6 번이므로 해가 적어도 6 개 — 위 개수와 일치하고, 해는 θ ≈ 0.50, 1.71, 2.58, 3.52, 5.01, 5.54 근처에 반파동마다 하나씩 놓입니다. 오답들은 모두 그림을 대충 그렸을 때 나옵니다: (A) 2와 (B) 4는 빠른 파동이 1 주기나 2 주기가 아니라 3 주기라는 점을 놓친 결과, (C) 5는 구간 끝에 가까운 교점 하나를 빠뜨린 결과, (E) 8은 어떤 미끄럼에서 느린 곡선을 두 번 지난다고 가정한 결과인데 5–6단계가 그 가능성을 배제합니다.

💡핵심 정리

± 5까지 크게 흔들리는 파동은, -4 에서 2 사이의 띠를 절대 못 벗어나는 곡선을 한 방향 미끄럼마다 정확히 한 번씩 뚫고 지나갑니다. cos 3θ 의 세 주기가 미끄럼 여섯 번을 만들므로 해는 여섯 개.