AMC 10 · 2021 · #20
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
차수 2021짜리 다항식을 손으로 나누는 사람은 없으므로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 전체를 이끈다: z²⁰²¹+1과 같은 나머지를 남기는 훨씬 작은 다항식을 찾아 그것을 대신 나눈다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 핵심 재배열을 제공한다 — 나누는 식에 z-1을 곱하면 z²+z+1이 훨씬 친숙한 z³-1로 바뀐다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기)가 그 뜻을 읽어 준다: 나누는 식을 기준으로 보면 z의 거듭제곱이 3주기로 반복되므로 2021을 3으로 나눈 나머지만 중요하다. 도구 #4(변수 도입하기)는 처음부터 목표를 R(z)=az+b로 세워 차수 조건을 눈앞에 두게 하고, 언제 멈춰도 되는지를 정확히 알려 준다.
나머지의 꼴 정하기
나머지는 일차식입니다.
유일성이란 맞는 답 하나가 곧 그 답이라는 뜻이므로, 가장 값싼 경로로 나머지를 찾아도 된다.
11.A-APR.D.6Introduce A Variable나누는 식을 쓸모 있게 바꾸기
나누는 식이 세제곱 빼기 1을 나눕니다.
못생긴 나누는 식도 잘 고른 곱셈 한 번이면 유명한 식이 되는데, 여기서 z²+z+1은 사실 z³=1의 다른 얼굴이다.
11.A-APR.C.4Organize Information In More Ways지수 줄이기
거대한 지수를 작은 것으로 바꿉니다.
xⁿ-1은 항상 x-1로 나누어떨어지므로, z³을 몇 제곱하든 우리가 원하는 방식 그대로 1에서 딱 한 걸음 거리에 머문다.
어떤 것의 거듭제곱에서 1을 뺀 것은 언제나 그것에서 1을 뺀 것으로 나누어떨어진다.
▸ 왜?
같은 차수의 거듭제곱의 차는 언제나 밑의 차를 인수로 지닌다.
▸ 왜?
따라서 나눈 뒤 남는 것이 0이며, 그것이 바로 나누어떨어짐이다.
차이가 배수임을 확인
그 차이가 나누는 식의 배수입니다.
나누는 식의 배수를 더하거나 빼도 나머지는 절대 변하지 않으므로, 남은 것이 읽을 만큼 작아질 때까지 계속 빼도 된다.
9.A-SSE.A.2Look For A Pattern작아진 나눗셈 끝내기
나머지는 마이너스 z입니다.
남은 것의 차수가 나누는 식보다 낮아지는 순간 나눗셈은 끝이다 — 더 이상 빼낼 것이 없다.
11.A-APR.D.6Introduce A Variable나누는 식이 사실은 z³=1이라고 말하고 있다면 어마어마한 거듭제곱도 순식간에 무너진다: 지수를 3으로 나눈 나머지만 남기면 된다.
- 나머지가 될 수 있는 꼴에 이름 붙이기
- 나누는 식을 쓸모 있게 바꾸기
- 지수 2021을 2로 줄이기
- 거대한 거듭제곱을 작은 것으로 바꿔치기
- 작아진 나눗셈 끝내기