AMC 10 · 2021 · #25

학년 8 number-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

floor-functionlinear-diophantinecoordinate-geometryfraction-arithmetic easier-related-problempattern-recognitionbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: floor-functioncoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

가로세로 30씩인 격자점 구백 개가 있습니다. 원점을 지나는 어떤 기울기의 직선 위나 아래에 정확히 삼백 개의 점이 놓이려면 그 기울기가 어떤 구간 안에 있어야 합니다. 그 구간의 길이를 기약분수로 쓰고 분자와 분모를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제) — 연속 넓이 근사 (삼각형 넓이가 정사각형의 1/3)로 m ≈ 2/3 추측한 뒤 정확 검증. 도구 #5 (패턴) — Σ_x = 1³⁰ ⌊ 2x/3 ⌋ 의 30 항을 x mod 3으로 묶어 등차 합 공식. 도구 #1 (그림) — 30 × 30 격자에 y = 2/3 x 가 (3, 2), (6, 4), …, (30, 20)을 정확히 지나가는 모습. 도구 #7 (쪼개기) — 구간 하한과 상한을 별도로. 도구 #3 (가능성 지우기) — a + b 가 선택지 중 하나여야.

1STEP 1

개수를 식으로 쓰기

세로줄마다 세는 합으로 씁니다.

N(m) = Σ_x = 1³⁰ min(⌊ m x ⌋, 30)

2STEP 2

기울기 어림하기

어림잡아 후보 기울기를 찾습니다.

m ≈ 2/3

3STEP 3

후보 확인하기

세어 보면 정확히 맞습니다.

N(2/3) = Σ_k = 1¹⁰(6k - 3) = 300

4STEP 4

아래 끝 정하기

그 값이 구간의 아래 끝입니다.

m_lo = 2/3 (포함)

5STEP 5

다음 격자점 찾기

가장 먼저 잡히는 격자점을 찾습니다.

min k/x - 2/3 = 1/3x; 최대 x with 3k - 2x = 1

6STEP 6

위 끝 정하기

그 기울기가 구간의 위 끝입니다.

m_hi = 19/28, m ∈ [2/3, 19/28)

7STEP 7

길이 구해 더하기

더하면 85입니다.

1/84, a + b = 1 + 84 = 85 → (E)

정답

감각 점검. 2/3 ≈ 0.6667, 19/28 ≈ 0.6786, 구간 길이 ≈ 0.012. 30 × 30 격자에서 한 격자점이 들거나 빠지는 Δ m 평균 간격은 대략 이 정도라 합리적. 또한 m = 19/28 에서 격자점 (28, 19)가 "위 또는 위에" 에 새로 합류해 N 이 300 → 301 — 구간이 왼쪽 닫힘 (직선 위 격자점 포함) 오른쪽 열림 (다음 점이 합류하기 직전) 인 게 일관.

💡핵심 정리

가장 어려운 이 AMC 12 문제도 7-8학년 수준 추정과 정수론으로 풀려요 — 정사각형 넓이의 1/3 에서 m ≈ 2/3를 추측한 뒤 셋씩 묶어 정확히 300 점임을 확인; 다음 점프는 2/3 바로 위 가장 작은 k/x (x ≤ 30)이고 3k - 2x = 1의 최대 x = 28 에서 19/28; 구간 길이 19/28 - 2/3 = 1/84, 답 a + b = 1 + 84 = 85.