AMC 10 · 2021 · #12

학년 12 counting

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

binomial-theoremexponentslcmconsecutive-integer-count convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: binomial-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 항의 합을 천 제곱해 전개하면 천한 개의 항이 나옵니다. 각 항의 계수는 이항계수와 2의 세제곱근의 거듭제곱과 3의 제곱근의 거듭제곱으로 이루어집니다. 그 천한 개의 계수 중 유리수인 것이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

166

(C)

167

(D)

500

(E)

501

풀이 과정

전략 변수 도입하기

1001개의 항을 하나하나 써 보는 것은 불가능하므로, 나열하는 대신 항에 이름을 붙인다. 1000개의 인수 중 몇 개가 x∛(2)를 내놓는지를 나타내는 지표 k를 도입하면, 이항정리가 1001개의 항 전체를 하나의 식으로 준다. 그 다음 근호를 분수 지수로 바꾸면 계수는 C(1000, k) 곱하기 2의 k/3제곱 곱하기 3의 (1000-k)/2제곱이 되어, "계수가 유리수인가"라는 질문이 "두 지수가 정수인가"로 바뀐다. 이것은 k에 대한 배수 조건이고, 그 조건을 만족하는 k를 세는 일은 매우 간단하다.

1STEP 1

항 하나에 지표로 이름 붙이기

항 하나에 지표로 이름을 붙입니다.

(x∛(2)+y√(3))¹⁰⁰⁰=Σ_k=0¹⁰⁰⁰C(1000, k)(x∛(2))^k(y√(3))¹000-k

2STEP 2

수 부분과 변수 부분 떼어내기

수 부분과 변수 부분을 떼어 냅니다.

C(1000, k)(x∛(2))^k(y√(3))¹000-k=C(1000, k) 2^k/3 3^(1000-k)/2_coefficient x^ky¹000-k

3STEP 3

두 지수가 모두 정수여야 한다

두 지수가 모두 정수여야 합니다.

2^k/3 · 3^(1000-k)/2 is rational⇔ k/3 and (1000-k)/2 are both integers

4STEP 4

두 조건이 하나로 합쳐진다

두 조건이 6의 배수로 합쳐집니다.

3 ∣ k and 2 ∣ k ⇔ 6 ∣ k, lcm(2,3)=6

5STEP 5

6의 배수 세기

세어 보면 167개입니다.

k ∈ {0, 6, 12, …, 996}, 996/6 + 1 = 166 + 1 = 167

정답

167

6의 배수는 정수 전체의 약 1/6을 차지하고 1001/6은 167에 가까우므로 크기가 타당하다. 진짜 위험한 곳은 울타리 기둥 세기이고, 선택지가 바로 그것을 노리고 있다. 166은 k = 0이 실제 항 3⁵⁰⁰y¹⁰⁰⁰을 준다는 사실을 잊었을 때 나오는 값이며, 그 계수 3⁵⁰⁰은 분명히 유리수이다. 0부터 996까지 6씩 세면 166 + 1 = 167이다. 선택지 500과 501은 세제곱근 조건을 무시하고 짝수 조건만 썼을 때 나오는 값이고, 0은 유리수 계수를 가진 항이 하나도 없어야 한다는 뜻인데 이미 k = 0인 항이 그것을 반박한다.

💡핵심 정리

전개식이 너무 커서 다 쓸 수 없을 때는 항 하나에 지표를 붙이고 그 지표가 무엇을 만족해야 하는지 물어라. 여기서는 계수가 유리수가 되려면 지표가 3의 배수이면서 2의 배수, 곧 6의 배수여야 한다.

항 하나에 지표로 이름 붙이기
수 부분과 변수 부분 떼어내기
두 지수가 모두 정수여야 한다
두 조건이 하나로 합쳐진다
6의 배수 세기

항 하나에 지표로 이름 붙이기

수 부분과 변수 부분 떼어내기

두 지수가 모두 정수여야 한다

두 조건이 하나로 합쳐진다

6의 배수 세기

비슷한 유형 더 풀어보기