AMC 10 · 2021 · #25
학년 11 countingnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
조건에 맞는 순서쌍을 하나씩 찾아 세는 것은 불가능하다. 나눗셈 조건이 네 성분을 한꺼번에 얽어 놓기 때문이다. 그래서 도구 #15 (다르게 정리하기)가 핵심이다: 순서쌍을 개별로 살피는 대신 여러 개씩 묶어 묶음의 개수를 센다. 도구 #4 (변수 도입하기)가 묶는 규칙을 준다 — 네 성분 모두에 한꺼번에 더하고 법 m 으로 되감는 이동량 k 이다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 전체 순서쌍 개수를 순열로 세고 그것을 묶음들에 나눠 준다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 손으로 셀 수 있을 만큼 작은 m=5 에서 얻은 식을 검증한다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)으로 곱 꼴의 개수식을 c₃x³+c₂x²+c₁x+c₀ 표준형으로 전개해 물어본 계수를 읽어낸다.
먼저 모든 순서쌍 세기
먼저 모든 순서쌍을 셉니다.
앞에서 고른 값이 하나씩 소진되므로 새 자리마다 쓸 수 있는 값이 하나씩 줄어든다.
11.S-CP.B.9Make A Systematic List네 성분을 함께 이동시키기
네 성분을 함께 이동시킵니다.
모두에게 같은 양을 더하는 것은 m 개의 자리로 된 원판을 통째로 돌리는 것이라 충돌이 생기지 않는다.
모든 항목에 같은 양을 더하면 목록 전체가 자리의 고리를 따라 돌 뿐이므로, 서로 부딪치는 일이 없다.
▸ 왜?
한 바퀴를 돌면 자리가 처음으로 돌아오므로, 미는 것은 어느 자리가 어느 것인지만 다시 이름 붙이는 일이다.
▸ 왜?
그 밀기는 각 네 쌍을 정확히 다른 하나와 짝지으므로, 무리들의 크기가 모두 같다.
이동이 합에 미치는 영향 따라가기
이동이 합을 일정하게 바꿉니다.
홀수를 법으로 하면 4에 역원이 있으므로, k 가 모든 나머지를 훑을 때 합도 모든 나머지를 훑어 0을 딱 한 번 지난다.
9.A-REI.B.3Organize Information In More Ways전체를 묶음 크기로 나누기
묶음마다 정확히 하나가 조건을 만족합니다.
m 개짜리 묶음마다 당첨이 하나씩이면, 당첨의 총수는 전체를 m 으로 나눈 값이다.
9.A-SSE.A.2Make A Systematic Listm=5 에서 식 검증하기
작은 값에서 식을 검증합니다.
가장 작은 경우는 직접 셀 만큼 작고, 그 값이 식과 같은 수를 준다.
11.S-CP.B.9Solve An Easier Related Problem전개해서 c₁ 읽기
전개하면 일차항 계수는 11입니다.
개수가 일차식들의 곱으로 나오면 x 의 계수는 근들을 두 개씩 곱해 더한 값일 뿐이다.
9.A-APR.A.1Convert To Algebra네 성분 모두에 같은 수를 더하고 m 으로 되감아도 서로 다름은 유지되고 합은 4k 만큼 밀리므로, 이동으로 만들어지는 m 개짜리 묶음마다 합이 m 의 배수인 것이 정확히 하나뿐이다. 그래서 D(m)=(m-1)(m-2)(m-3)이고, 그 x 의 계수는 11이다.
- 먼저 모든 순서쌍 세기
- 네 성분을 함께 이동시키기
- 이동이 합에 미치는 영향 따라가기
- 전체를 묶음 크기로 나누기
- m=5 에서 식 검증하기
- 전개해서 c₁ 읽기