AMC 10 · 2021 · #11

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

complementary-countingindependent-eventsprime-factorizationprobability-basic complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: probability-basiccomplementary-counting

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

보통 주사위 여섯 개를 한 번에 던져 나온 여섯 수를 모두 곱합니다. 그 곱이 4의 배수일 확률을 구하세요. 곱의 크기는 상관없고 여섯 눈이 합쳐서 2를 충분히 공급하는지만 중요합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac34$

(B)

$\frac{57}{64}$

(C)

$\frac{59}{64}$

(D)

$\frac{187}{192}$

(E)

$\frac{63}{64}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

곱이 4로 나누어떨어지는 경우를 정면으로 세는 것은 승산이 없습니다. 거의 모든 경우가 조건을 만족하는 데다, 만족하는 이유도 제각각이기 때문입니다. 이렇게 한쪽으로 크게 치우친 상황이 바로 도구 #16(관점 바꾸기)의 신호입니다. 드물게 실패하는 확률을 구해서 1 에서 빼면 됩니다. 다만 실패를 설명하려면 먼저 주사위를 다르게 읽어야 합니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 주사위를 1부터 6 까지의 수로 읽기를 멈추고 "이 눈은 인수 2를 몇 개 내놓는가", 즉 0 개인지 1 개인지 2 개인지로 읽으라고 말합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 여섯 눈을 확률과 함께 세 줄짜리 표로 정리합니다. 그러면 실패란 여섯 개가 내놓은 2의 총 개수가 0 이거나 1 인 경우, 즉 딱 두 가지뿐이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리하면 됩니다.

1STEP 1

목표를 2 세기로 바꾸기

목표를 2 세기로 바꿉니다.

4 = 2² ⟹ 곱이 4의 배수 ⇔ 인수 2의 총 개수 ≥ 2

2STEP 2

눈마다 2의 개수 붙이기

눈마다 2의 개수를 붙입니다.

{1,3,5}: 2가 0 개, P = 3/6 = 1/2 {2,6}: 1 개, P = 2/6 = 1/3 {4}: 2 개, P = 1/6

3STEP 3

실패하는 경우로 관점 바꾸기

실패하는 경우가 훨씬 적습니다.

P(4의 배수) = 1 - P(2의 총 개수 = 0) - P(2의 총 개수 = 1)

4STEP 4

2가 0 개인 경우: 모두 홀수

모두 홀수인 경우를 셉니다.

P(2의 총 개수 = 0) = (1/2)⁶ = 1/64

5STEP 5

2가 1 개인 경우: 2 또는 6 하나

2가 딱 하나인 경우를 셉니다.

P(2의 총 개수 = 1) = 6 · 1/3 · (1/2)⁵ = 6 · 1/3 · 1/32 = 1/16 = 4/64

6STEP 6

1 에서 실패 확률 빼기

1에서 빼면 64분의 59입니다.

P(4의 배수 아님) = 1/64 + 4/64 = 5/64, P(4의 배수) = 1 - 5/64 = 59/64 → (C)

정답

59/64

정수로 세어 봐도 분수 계산과 일치합니다. 똑같이 나올 수 있는 경우는 모두 6⁶ = 46,656 가지입니다. 모두 홀수인 경우는 3⁶ = 729 가지입니다. 정확히 한 주사위만 2 또는 6이고 나머지가 홀수인 경우는 6 · 2 · 3⁵ = 6 · 2 · 243 = 2,916 가지입니다. 합치면 실패가 3,645 가지이고, 3,645/46,656 = 5/64로 정확히 떨어지므로 59/64가 맞습니다. 크기도 그럴듯합니다. 주사위 여섯 개면 곱이 인수 2를 두 개 얻는 일이 거의 항상 일어나므로 답은 1에 가까울 수밖에 없고, 그래서 (A) 3/4는 너무 작습니다. 아깝게 빗나가는 두 선택지가 오히려 배울 점이 많습니다. (E) 63/64는 모두 홀수인 경우만 빼면 나오는 값으로, 4가 아니라 2로 나누어떨어질 확률입니다. (B) 57/64는 모든 짝수 눈이 인수 2를 정확히 하나씩만 가진다고 착각할 때 나옵니다. 그러면 실패 확률이 1/64 + 6 · 1/2 · (1/2)⁵ = 7/64이 되는데, 이는 4 하나만으로 이미 조건이 끝난다는 사실을 잊은 것입니다. 59/64가 나왔다는 것은 두 함정을 모두 피했다는 뜻입니다.

💡핵심 정리

"적어도 얼마"를 묻는데 거의 모든 경우가 통과한다면, 통과 못 하는 몇 개만 세어 1 에서 빼십시오. 여기서 실패는 딱 두 가지입니다. 모두 홀수이거나, 2 또는 6 하나만 섞여 있거나.

목표를 2 세기로 바꾸기
눈마다 2의 개수 붙이기
실패하는 경우로 관점 바꾸기
2가 0 개인 경우: 모두 홀수
2가 1 개인 경우: 2 또는 6 하나
1 에서 실패 확률 빼기