AMC 10 · 2021 · #13

학년 11 algebra

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

periodic-functionreflection-symmetrymodular-arithmetictrigonometric-ratios symmetry-argumentpattern-recognition ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiosperiodic-function

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

고정된 각 하나가 주어집니다. 분자는 사인 다섯 개의 곱이고 분모도 사인 다섯 개의 곱인 분수를 만듭니다. 이 분수의 정확한 값을 구하세요. 사인이 열 개 나오지만 어느 하나의 값도 계산할 필요가 없고 전체가 깔끔하게 접힙니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}1$

(B)

${-}\frac{\sqrt{11}}{5}$

(C)

$\frac{\sqrt{11}}{5}$

(D)

$\frac{10}{11}$

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

사인 열 개를 계산해서 곱하는 것은 손으로는 불가능하고, 선택지가 모두 정확한 값이므로 애초에 의미도 없다. 더 나은 방법은 각을 각으로 읽기를 그만두고 번호로 읽는 것이다. c = 2π/11이므로 각 kc는 한 바퀴의 11분의 1짜리 걸음을 k번 옮긴 것이고, 따라서 k를 11로 나눈 나머지만 중요하다. 그렇게 이름을 다시 붙이면 분자의 목록 3, 6, 9, 12, 15와 분모의 목록 1, 2, 3, 4, 5가 순서만 다른 같은 다섯 걸음이며, 그중 몇 개는 가로축 위가 아니라 아래에 놓인다는 것이 드러난다. 그러면 문제는 두 조각으로 갈라진다. 글자 그대로 일치하는 인수를 약분하는 일과, 반사된 인수에서 나오는 음의 부호를 세는 일이다. 단위원 밖의 지식은 전혀 필요하지 않다.

1STEP 1

모든 각을 걸음 수로 읽기

모든 각을 걸음 수로 읽습니다.

c = 2π/11, sin kc = sin((2π k)/11)

2STEP 2

12와 15를 한 바퀴 안으로 되돌리기

큰 각을 한 바퀴 안으로 되돌립니다.

sin 12c = sin(2π + c) = sin c, sin 15c = sin(2π + 4c) = sin 4c

3STEP 3

이미 일치하는 인수 약분하기

이미 일치하는 인수를 약분합니다.

(sin 3c · sin 6c · sin 9c · sin c · sin 4c)/(sin c · sin 2c · sin 3c · sin 4c · sin 5c) = (sin 6c · sin 9c)/(sin 2c · sin 5c)

4STEP 4

번호 6과 9를 축 너머로 반사하기

남은 것을 축 너머로 반사합니다.

sin 6c = sin(2π - 5c) = -sin 5c, sin 9c = sin(2π - 2c) = -sin 2c

5STEP 5

음의 부호 세기

음의 부호가 두 번 나와 지워집니다.

(sin 6c · sin 9c)/(sin 2c · sin 5c) = (-sin 5c)(-sin 2c)/(sin 2c · sin 5c) = (sin 2c · sin 5c)/(sin 2c · sin 5c) = 1

6STEP 6

우연이 아니었음을 확인하기

우연이 아님을 확인합니다.

{3 · 1, 3 · 2, 3 · 3, 3 · 4, 3 · 5} ≡ {3, 6, 9, 1, 4} (mod 11) ⟶ {3, 5, 2, 1, 4}, (-1)² = 1

7STEP 7

값 확정하기

값은 1입니다.

(sin 3c · sin 6c · sin 9c · sin 12c · sin 15c)/(sin c · sin 2c · sin 3c · sin 4c · sin 5c) = 1

정답

수치로 빠르게 확인해도 일치한다. c ≈ 0.5712 라디안일 때 분자의 다섯 사인 값은 약 0.9898, -0.2817, -0.9096, 0.5406, 0.7557이고 그 곱은 약 0.1036이다. 분모의 다섯 사인 값은 약 0.5406, 0.9096, 0.9898, 0.7557, 0.2817이고 그 곱도 약 0.1036이다. 몫은 소수 셋째 자리까지 1.000이다. 구조는 오답 선택지도 설명해 준다. -√(11)/5와 √(11)/5는 곱 공식 Π_k=1ⁿ⁻¹ sinkπ/n = n/(2ⁿ⁻¹)을 어렴풋이 떠올릴 때 나오는 값이다. 관련된 곱에서는 실제로 √(11)이 등장하지만, 여기서는 두 곱이 말 그대로 같은 인수들로 이루어져 있으므로 어떤 제곱근도 살아남을 수 없다. 10/11은 그 공식의 분수 모양을 흉내 낸 것으로 역시 불가능하다. 진짜 함정은 -1이다. 반사 횟수를 잘못 세면, 예를 들어 9는 반사하면서 6도 11/2보다 크다는 사실을 놓치면 이 값이 나온다.

💡핵심 정리

c가 한 바퀴의 11분의 1이므로 각은 11로 나눈 나머지만 중요하다. 번호를 줄이고 일치하는 인수를 약분하면, 답은 부호가 뒤집힌 횟수가 짝수인지 홀수인지로 결정된다.

모든 각을 걸음 수로 읽기
12와 15를 한 바퀴 안으로 되돌리기
이미 일치하는 인수 약분하기
번호 6과 9를 축 너머로 반사하기
음의 부호 세기
우연이 아니었음을 확인하기
값 확정하기