AMC 10 · 2022 · #16

학년 9 number-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

triangular-numbersperfect-squarespell-equationcompleting-the-squaredigit-sum convert-to-algebracompleting-the-squarepattern-recognition ↑ 선수 지식: triangular-numbersperfect-squares

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

n번째 삼각수는 1부터 n까지를 더한 값입니다. 삼각수 중에는 완전제곱수도 있고 가장 작은 세 개는 1, 36, 1225입니다. 완전제곱수이기도 한 네 번째로 작은 삼각수를 찾아 자릿수를 모두 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

"삼각수이면서 제곱수"인 수를 손으로 찾는 것은 불가능하다. 답이 급격히 드물어지기 때문이다(1, 36, 1225, 그 다음은 큰 도약). 그래서 조건을 방정식으로 바꾼다: (n(n+1))/2 = k². 분모를 없애고 완전제곱꼴로 만들면 (2n+1)² - 8k² = 1, 즉 펠 방정식(Pell equation)이 된다. 이 재구성이 문제의 핵심인데, 펠 방정식의 해는 매우 견고한 생성 구조를 갖기 때문이다 — 모든 해는 가장 작은 해의 거듭제곱이다. 문제가 제시한 세 개의 예시는 장식이 아니라 처음 세 개의 거듭제곱이며, 덕분에 패턴을 먼저 확인한 뒤 네 번째를 만들어낼 수 있다. 도구 #13이 재구성을 하고, 도구 #5가 생성 패턴을 읽어내며, 도구 #15는 그 패턴이 보이도록 주어진 n 값을 2n+1 값으로 바꿔 적는 역할을 한다.

1STEP 1

삼각수의 닫힌 꼴

삼각수를 닫힌 꼴로 씁니다.

t_n = 1+2+3+…+n = (n(n+1))/2

2STEP 2

조건을 방정식으로

조건을 방정식으로 씁니다.

(n(n+1))/2 = k² ⟹ n(n+1) = 2k²

3STEP 3

완전제곱꼴로 만들기

완전제곱꼴로 만듭니다.

4n² + 4n = 8k² ⟹ 4n² + 4n + 1 = 8k² + 1 ⟹ (2n+1)² - 8k² = 1

4STEP 4

주어진 예시 다시 쓰기

주어진 세 예시를 새 꼴로 씁니다.

x² - 8k² = 1, 알려진 해 (x,k) = (3,1), (17,6), (99,35)

5STEP 5

근호 위에서 인수분해

근호 위에서 인수분해합니다.

x² - 8k² = (x - 2√(2) k)(x + 2√(2) k) = 1

6STEP 6

거듭제곱 패턴 찾기

해들이 한 수의 거듭제곱입니다.

(3+2√(2))¹ = 3 + 2√(2) · 1 → (3,1), (3+2√(2))² = 17 + 12√(2) = 17 + 2√(2) · 6 → (17,6), (3+2√(2))³ = 99 + 70√(2) = 99 + 2√(2) · 35 → (99,35)

7STEP 7

네제곱 계산하기

네제곱해서 다음 해를 얻습니다.

(3+2√(2))⁴ = (17+12√(2))² = 289 + 408√(2) + 288 = 577 + 2√(2) · 204 → x = 577, k = 204, n = (577-1)/2 = 288

8STEP 8

수를 만들고 자릿수 더하기

자릿수를 더하면 18입니다.

t₂₈₈ = (288 · 289)/2 = 144 · 289 = 41616 = 204², 4+1+6+1+6 = 18

9STEP 9

보기와 맞추기

보기와 정확히 맞습니다.

18 → (D)

정답

서로 독립적인 세 가지 확인이 모두 일치한다. 첫째, 41616은 정말 삼각수다: (288 · 289)/2 = 144 · 289 = 41616. 둘째, 정말 제곱수다: 204² = 40000 + 1600 + 16 = 41616. 셋째, 그냥 나중의 어떤 해가 아니라 정말 네 번째로 작은 해다 — 3+2√(2)의 거듭제곱은 순증가하고 x²-8k²=1의 모든 해가 그중 하나이며, 처음 세 거듭제곱이 문제가 제시한 세 예시를 정확히 재현했으므로 네제곱은 반드시 네 번째로 작은 해를 준다. 크기도 그럴듯하다: 제곱근이 1, 6, 35, 204로 매번 대략 6배씩 커지므로, 1225에서 약 4 × 10⁴로 뛰는 것은 정확히 예상되는 증가 속도다. 한 가지 더 확인하면, 41616 = 144 · 289이고 144가 9의 배수이므로 41616은 9로 나누어떨어지고 따라서 자릿수 합도 9의 배수여야 한다 — 이것만으로 (A) 6과 (C) 12가 독립적으로 제거되고 9, 18, 27만 남는다.

💡핵심 정리

"삼각수이면서 동시에 제곱수"라는 조건은 하나의 방정식 (2n+1)² - 8k² = 1이 되고, 그 해들은 흩어져 있지 않다 — 모두 3+2√(2)의 거듭제곱이다. 문제에 나온 세 예시가 바로 처음 세 거듭제곱이므로, 네제곱인 577 + 2√(2) · 204가 204² = 41616과 자릿수 합 18을 알려준다 — 답은 (D).

삼각수의 닫힌 꼴 만들기
조건을 방정식으로 쓰기
완전제곱꼴로 만들기
주어진 세 예시 다시 쓰기
√(2) 위에서 인수분해하기
거듭제곱에서 패턴 찾기
네제곱 계산하기
수를 만들고 자릿수 더하기
선택지와 맞추기