AMC 10 · 2022 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

rotation-isometryreflection-symmetrypattern-recognition easier-related-problempattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: rotation-isometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 변환이 평면을 원점 중심으로 몇 도 반시계 방향으로 돌린 뒤 세로축에 대해 대칭시킵니다. 각도를 1도부터 하나씩 키우며 이런 변환을 차례로 적용합니다. 어떤 점이 제자리로 돌아오게 하는 가장 작은 양의 정수 번호를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

359

(B)

360

(C)

719

(D)

720

(E)

721

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

반지름은 보존되므로 각 θ_n 만 추적하면 됩니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제): θ₁, θ₂, θ₃, θ₄를 직접 계산 (y 축 대칭은 각 φ ↦ 180° - φ). 도구 #5 (패턴 찾기): 홀수 인덱스와 짝수 인덱스가 두 개의 깔끔한 등차수열을 이룸. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 닫힌 형태 식을 360° 의 배수와 같다고 놓고 최소 n 을 구함. 도구 #3 (가능성 지우기): 두 경우를 비교해 작은 값 선택.

1STEP 1

한 단계의 규칙 쓰기

각이 한 규칙으로 바뀝니다.

θ_n = 180° - θ_n-1 - n°

2STEP 2

앞의 몇 단계 계산하기

앞의 여섯 단계를 직접 계산합니다.

θ₁ = 179°, θ₂ = -1°, θ₃ = 178°, θ₄ = -2°, θ₅ = 177°, θ₆ = -3°

3STEP 3

홀짝으로 나누기

각이 번갈아 두 줄을 이룹니다.

θ₂k-1 = 180° - k°, θ₂k = -k°

4STEP 4

규칙 확인하기

다음 단계로 규칙을 확인합니다.

θ₂k+1 = 180 - (k+1), θ₂k+2 = -(k+1) — 확인.

5STEP 5

홀수 쪽 해 찾기

홀수 쪽에서 한 해가 나옵니다.

n_홀수 = 359

6STEP 6

짝수 쪽 해 찾기

짝수 쪽 해는 훨씬 큽니다.

n_짝수 = 720

7STEP 7

작은 쪽 고르기

작은 쪽은 359입니다.

min(359, 720) = 359 → (A)

정답

359

n = 359 에서 직접 확인: 홀수이고 k = 180 이므로 θ₃₅₉ = 180° - 180° = 0° — 점이 정확히 (1, 0)으로 복귀. 더 작은 n 이 없음도 직접 확인: 홀수 n = 2k - 1, 1 ≤ k ≤ 179이면 θ_n = 180 - k ∈ {1°, …, 179°} 이므로 360° 의 배수 아님. 짝수 n = 2k, 1 ≤ k ≤ 359이면 θ_n = -k° ∈ {-1°, …, -359°} 이므로 360° 의 배수 아님. 따라서 n = 359가 최소.

💡핵심 정리

움직이는 것은 각뿐 — 반지름은 늘 1. T_k 를 몇 번 굴려 보면 두 가지 규칙이 보입니다: 홀수 걸음은 180° - k, 짝수 걸음은 -k. "360° 의 배수는 언제?" 를 풀면 n = 359 (홀수), n = 720 (짝수) — 더 작은 쪽은 (A) 359.