AMC 10 · 2022 · #5
학년 6 counting답을 골라 클릭하세요.
점을 한꺼번에 세려 하면 막막하지만, |x| + |y| ≤ 20은 한 좌표를 고정하는 순간 깔끔하게 쪼개집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 말합니다 — x 를 가능한 값마다 훑으면서, x 를 고정할 때마다 허용되는 y 를 따로 세라. 큰 문제 하나가 작은 문제 41 개로 바뀝니다. 도구 #1(그림 그리기)로 모양을 보면, 허용되는 점들이 (± 20, 0)과 (0, ± 20)을 꼭짓점으로 하는 마름모를 채우고 있어서 마름모의 세로줄 하나가 곧 작은 문제 하나가 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 한 세로줄 안의 정수를 세고, 도구 #5(패턴 찾기)로 세로줄 높이가 41, 39, 37, …, 1 — 홀수들이 줄지어 나온다는 사실을 잡아내면 긴 덧셈을 지름길로 끝낼 수 있습니다.
부등식으로 바꾸기
말을 부등식 하나로 바꿉니다.
절댓값은 0 에서 떨어진 거리이므로, |x| + |y| 는 "옆으로 간 거리" 더하기 "위아래로 간 거리" 입니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems영역의 모양 보기
영역은 원이 아니라 마름모입니다.
가로로 한 칸 더 가는 대신 세로로 한 칸을 포기하면 비용이 그대로라서, 경계가 곧은 사선이 됩니다.
6.NS.C.8Draw A Diagram한 줄 고정하고 세기
한 좌표를 고정하면 구간이 나옵니다.
가로 예산을 쓰고 나면 20 에서 남은 만큼이 곧 세로로 쓸 수 있는 여유입니다.
6.EE.B.8Identify Subproblems한 줄의 개수 세기
한 줄에는 홀수 개가 들어갑니다.
0을 가운데 두고 좌우 대칭으로 늘어선 정수의 개수는 항상 홀수입니다 — 0만 짝 없이 가운데 있기 때문입니다.
6.EE.A.2Make A Systematic List줄 높이는 홀수 행렬
줄 높이가 홀수로 늘어섭니다.
옆으로 한 칸 가면 예산을 1 쓰게 되고, 그 줄의 맨 위 한 점과 맨 아래 한 점이 동시에 사라집니다.
6.NS.C.7Look For A Pattern홀수 지름길로 더하기
홀수의 합은 제곱수라 841입니다.
연속한 홀수는 쌓으면 완전제곱이 되므로, 긴 덧셈이 20² 하나로 접힙니다.
연속한 홀수는 쌓여 완전제곱이 되므로, 긴 덧셈이 제곱 한 번으로 접힌다.
▸ 왜?
홀수는 같은 간격으로 오르므로, 목록이 고르게 늘어선다.
▸ 왜?
첫 항과 마지막 항을 짝지으면 안쪽으로 짝지은 것과 같은 합이 되므로, 총합은 개수 곱하기 가운데 값이다.
이 AMC 12 문제는 6학년 절댓값과 좌표평면만 있으면 됩니다 — x 를 고정하고 남은 예산에 들어가는 y 를 세면 세로줄 높이가 41, 39, …, 1 이라는 홀수 줄이 되고, 그 합이 841입니다.
- 말을 부등식 하나로 바꾸기
- 영역을 마름모로 보기
- x 를 고정하고 y 세기
- 세로줄 하나에는 2m + 1 개
- 세로줄 높이는 홀수 행렬
- 홀수 지름길로 세로줄 합치기