AMC 10 · 2022 · #11

학년 11 algebra

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

complex-numbersroots-of-unityperiodic-functionexponentsmodular-arithmetic pattern-recognitioneasier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: complex-numbersexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 고정된 복소수가 주어집니다. 어떤 규칙이 두 수를 각각 n제곱해 더합니다. 2022에서의 값을 구하되 그 거듭제곱을 직접 전개하지 않고 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-2

(B)

-1

(C)

(D)

$\sqrt{3}$

(E)

풀이 과정

전략 패턴 찾기

2022제곱을 전개하는 사람은 없습니다. 그러니 진짜 질문은 이 두 밑을 계속 자기 자신과 곱해 나가면 무슨 일이 일어나는가입니다. 여기서 도구 #5(패턴 찾기)가 엔진 전체입니다. 거듭제곱이 짧은 주기로 반복된다면 f도 같은 주기로 반복되고, 거대한 지수는 아무 비용도 되지 않습니다. 그 패턴을 실제로 찾아내는 방법이 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)입니다. n=2022를 n=1,2,3으로 바꾸면 사람이 손으로 할 수 있는 산수가 되고, 거기서 무엇이 나오는지 보면 됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 글을 정직하게 유지합니다. 두 밑에 ω와 ω라는 이름을 붙이면 사실을 한 번만 적어 두고 계속 다시 쓸 수 있고, (-1+i√(3))/2을 줄마다 끌고 다닐 필요가 없습니다. 마지막 마무리는 도구 #15(다르게 정리하기)의 몫입니다. 주기의 길이를 알고 나면 2022를 크기가 아니라 그 주기의 배수로 다시 읽어야 하고, 답은 그 고쳐 읽기에서 떨어집니다.

1STEP 1

두 밑에 이름 붙이기

두 수가 서로 켤레입니다.

ω = -1/2 + √(3)/2i, ω = -1/2 - √(3)/2i, f(n) = ωⁿ + ωⁿ

2STEP 2

제곱해 보기

제곱하면 다른 하나가 됩니다.

ω² = ((-1+i√(3))²)/4 = (1 - 2i√(3) - 3)/4 = (-2-2i√(3))/4 = (-1-i√(3))/2 = ω, ω² = ω

3STEP 3

세제곱해 보기

세제곱하면 1이 됩니다.

ω³ = ω · ω² = ω · ω = (1+3)/4 = 1, ω³ = 1

4STEP 4

값이 세 칸마다 반복

값이 세 칸마다 반복됩니다.

ωⁿ⁺³ = ωⁿ · ω³ = ωⁿ ⟹ f(n+3) = f(n)이고, n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8에 대해 f(n) = 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1

5STEP 5

2022를 3으로 나누기

자릿수 합으로 3의 배수임을 확인합니다.

2+0+2+2 = 6 = 3 × 2 ⟹ 3 ∣ 2022, 2022 = 3 × 674, 2022 ≡ 0 (mod 3)

6STEP 6

지수 접고 마무리

둘 다 1이 되어 합은 2입니다.

f(2022) = (ω³)⁶⁷⁴ + (ω³)⁶⁷⁴ = 1⁶⁷⁴ + 1⁶⁷⁴ = 1 + 1 = 2 (E)

정답

구조 확인과 수치 확인 두 가지를 합니다. 구조로 보면 ω는 단위원 위에 있습니다. |ω| = √((-1/2)² + (√(3)/2)²) = √(1/4+3/4) = 1이므로 ω의 모든 거듭제곱도 절댓값이 1이고, f(n) = 2 Re(ωⁿ)은 결코 -2와 2 사이를 벗어날 수 없습니다. f(2022)가 그 범위의 맨 위 끝에서 나왔다는 것은 ω²⁰²²이 정확히 1이라는 가장 강한 진술이며, 2022가 3의 배수라는 사실과 맞아떨어집니다. 수치로 보면 ω ≈ -0.5 + 0.8660i이고, n = 0부터 8까지 ωⁿ + ωⁿ을 소수로 계산하면 매번 허수부가 0인 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1이 나오며, 2022제곱을 직접 계산해도 2.000이 나옵니다. 오답도 모두 출처를 짚을 수 있습니다. (B) -1은 3의 배수가 아닌 모든 n에서 나오는 값이므로 2022를 잘못 나눈 사람을 잡습니다. (C) 0은 켤레인 두 항이 서로 상쇄된다고 본 것인데, 상쇄되는 것은 허수부일 뿐 실수부는 절대 상쇄되지 않습니다. (D) √(3)은 주어진 수의 조각일 뿐 f가 취하는 값이 아닙니다. (A) -2는 ωⁿ = -1을 요구하는데, ω의 위수가 홀수 3이므로 불가능합니다. 남는 것은 (E) 2뿐입니다.

💡핵심 정리

몇 번 곱했더니 밑이 1로 돌아온다면 그 거듭제곱은 짧은 루프를 돕니다. 그러면 2022 같은 괴물 지수가 묻는 것은 결국 하나뿐입니다. 나머지가 얼마인가?

두 밑에 이름 붙이기
제곱해서 결과 읽기
세제곱하면 1에 도착
값이 세 칸마다 반복됨
2022를 3의 배수로 읽기
지수를 접고 마무리