AMC 10 · 2022 · #17
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
칸이 16 개이고 각 칸이 두 가지이므로 격자는 2¹⁶ = 65536 개입니다. 하나씩 훑기에는 너무 많고, 바로 쓸 공식도 없습니다. 여기서 길을 여는 것이 도구 #14(극단의 원리)입니다. 격자 한가운데가 아니라 움직일 여지가 전혀 없는 합부터 손대는 것입니다. 칸 넷짜리 행의 합이 4 라면 그 행은 전부 1 이어야 하고, 열의 합이 4 인 열도 전부 1입니다. 그렇게 꽉 찬 줄 두 개가 생기면 합이 1 인 행과 합이 1 인 열까지 자동으로 결정됩니다. 그 행과 열은 이미 꽉 찬 줄에서 1을 하나 받았기 때문입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 결정된 네 줄을 떼어내면 같은 모양의 2 × 2 문제만 남습니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 완성된 격자가 따르는 규칙을 읽어냅니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 행의 합을 r₁, …, r₄, 열의 합을 c₁, …, c₄ 라 두면 경우를 하나하나 따지지 않고 한 번에 논증할 수 있습니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 격자가 아니라 격자를 만들어내는 두 개의 순서를 셉니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 결과를 선택지와 맞춥니다.
두 순서에 이름 붙이기
행과 열의 합이 같은 총합을 만듭니다.
같은 1 들을 행으로 한 번, 열로 한 번 세는 것이므로 두 총합은 반드시 같아야 합니다 — 격자를 찾기 전에 가장 먼저 확인할 것.
같은 항목을 줄로 한 번, 칸으로 한 번 세면 같은 답이 나와야 한다.
▸ 왜?
각 항목은 정확히 한 줄과 한 칸에 속하므로, 두 셈은 같은 것을 센다.
▸ 왜?
격자의 총합은 어떻게 묶든 항목을 더한 것이다.
합이 4인 줄 채우기
합이 4면 그 줄은 전부 1입니다.
많아야 1 인 칸 네 개로 합 4에 닿으려면 전부 1 일 수밖에 없으니, 가장 큰 합이 자유도가 0 인 자리입니다.
4.OA.A.3Extreme Principle합이 1인 줄 채우기
합이 1인 줄은 갈 곳이 하나뿐입니다.
가장 가난한 행은 모두에게 1을 요구하는 열에 하나뿐인 1을 이미 써 버려서, 다른 어디에도 줄 것이 남지 않습니다.
4.OA.A.3Extreme Principle네 줄 떼어 내기
네 줄을 떼면 작은 격자만 남습니다.
결정된 줄을 잘라내면 크기만 절반인 똑같은 문제가 남고, 거기서 극단의 원리를 한 번 더 쓰면 끝납니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem순서 한 쌍에 격자 하나
두 순서가 격자를 완전히 결정합니다.
격자와 순서 쌍이 일대일로 짝지어지므로, 훨씬 간단한 쪽을 세면 격자를 센 것이 됩니다.
6.EE.B.8Look For A Pattern순서를 세고 곱하기
두 순서의 개수를 곱합니다.
서로를 제한하지 않는 두 선택은, 윗옷 고르기와 모자 고르기처럼 그냥 곱하면 됩니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List보기와 맞추기
결과는 576입니다.
틀린 선택지들은 하나같이 격자에 실제로는 없는 자유를 있다고 가정한 이야기입니다.
3.OA.C.7Eliminate Possibilities움직일 여지가 없는 곳부터 시작하세요. 합이 4 인 행은 전부 1 이어야 하고, 그 사실 하나가 연쇄적으로 퍼져 모든 칸을 강제합니다. 그래서 진짜 결정할 것은 어느 행이 어느 합을 갖고 어느 열이 어느 합을 갖느냐뿐이며, 그 개수가 4! · 4! = 576입니다.
- 두 개의 순서에 이름 붙이기
- 합이 4면 그 줄은 전부 1
- 합이 1인 줄은 갈 곳이 없다
- 네 줄을 떼면 2x2만 남는다
- 순서 한 쌍에 격자 하나
- 순서를 세고 곱하기
- 선택지와 맞추기