AMC 10 · 2025 · #21

학년 8 counting

유형 Constraint Graph Coloring └ 세부 유형 Degree-Driven Extreme Pinning

caseworksymmetry-argumentsystematic-enumeration casework ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

3×3 격자의 9개 칸을 빨강, 파랑, 노랑으로 칠하되, 빨강 칸은 반드시 파랑 칸과 변을 맞대고, 파랑 칸은 노랑 칸과, 노랑 칸은 빨강 칸과 변을 맞대도록 한다. 회전이나 반사로 서로 겹쳐지는 색칠은 같은 것으로 본다. 서로 다른 색칠은 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"색칠이 몇 가지인가"를 세는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 중심이다. 격자가 거의 정해지고 나면 남은 칸을 채우는 방법을 빠짐없이 적으면 된다. 하지만 3⁹가지를 모두 나열하는 것은 무리이므로, 두 가지 아이디어로 먼저 경우를 줄인다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 대칭을 두 번 활용한다. 회전과 반사로 같은 색칠을 하나로 묶고, 색을 고리 방향 빨강→파랑→노랑→빨강으로 바꾸는 것 자체도 허용되므로, 가운데 칸을 빨강으로 고정하고 마지막에 3을 곱할 수 있다. 도구 #1(그림 그리기)로 격자를 눈앞에 두어 각 규칙을 보이게 하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 대부분의 칸을 강제한다. 가운데와 한 이웃이 정해지면 고리 규칙 때문에 칸마다 칠할 수 있는 색이 하나로 좁혀진다.

1STEP 1

규칙을 색의 고리로 읽기

세 규칙을 한 고리로 다시 쓴다. 빨강→파랑→노랑→빨강, 모든 칸은 다음 색 이웃이 필요하다.

red→blue→yellow→red

2STEP 2

대칭으로 가운데를 빨강으로 고정

색을 고리 방향으로 한 칸씩 밀어도 규칙은 그대로이므로, 가운데가 빨강인 경우만 세고 3을 곱한다.

#colorings = 3×(#with red center)

3STEP 3

강제되는 첫 이웃 놓기

가운데를 빨강으로 두고, 회전으로 파랑을 왼쪽 가운데에, 반사로 노랑을 왼쪽 위 모서리에 놓는다.

Y & · & · ; B & R & · ; · & · & ·

4STEP 4

고리를 따라 윗부분 채우기

이제 고리가 나머지를 강제한다. 위 가운데 빨강, 오른쪽 위 파랑, 오른쪽 가운데 노랑.

Y & R & B ; B & R & Y ; · & · & ·

5STEP 5

올바른 아랫줄 모두 나열하기

아랫줄만 남았고, 모든 조합을 따지면 올바른 줄은 정확히 4가지다: RRB, YRB, RYB, BYB.

RRB, YRB, RYB, BYB → 4 colorings

6STEP 6

가운데 세 색으로 곱하기

파랑 가운데와 노랑 가운데도 각각 4가지이고 서로 겹치지 않으므로 전체는 12가지다.

4 × 3 = 12 → (C)

정답

가운데가 빨강인 네 격자는 모두 올바르고 서로 회전이나 반사로 겹치지 않으므로 진짜로 다른 색칠이며, 가운데 세 색으로 곱하면 12가 되어 (C)와 맞는다. 3⁹가지 색칠을 모두 확인하면 올바른 것이 84가지이고, 정사각형의 8개 대칭으로 묶으면 12개 무리로 줄어들어 이 개수를 확인해 준다. 오답도 설명된다. (E) 27은 대칭을 무시한 값이고, (A) 3이나 (B) 9는 네 가지 아랫줄을 덜 센 결과다.

💡핵심 정리

규칙이 강제하는 칸을 먼저 다 정하고, 도형의 대칭으로 같은 그림을 두 번 세지 않게 한 다음, 남은 몇 가지만 빠짐없이 나열하라.

규칙을 색의 고리로 읽기
대칭으로 가운데를 빨강으로 고정
강제되는 첫 이웃 놓기
고리를 따라 윗부분 채우기
올바른 아랫줄 모두 나열하기
가운데 세 색으로 곱하기