AMC 10 · 2022 · #22

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicgeometric-probabilityexpected-valuecomplementary-countingfraction-arithmetic complementary-countingeasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicgeometric-probability

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

개미가 0에서 출발합니다. 세 걸음 각각에 대해 시간과 거리를 0과 1 사이에서 독립적으로 고르게 뽑습니다. 걸음마다 그 거리만큼 오른쪽으로 가고 그 시간만큼 씁니다. 누적 시간이 1분을 처음 넘는 걸음이 끝나면 멈추되 최대 세 걸음까지만 갑니다. 마지막 위치가 1을 넘을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{3}{4}$

(E)

$\frac{5}{6}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기) — 멈춤 규칙으로 두 배반 시나리오(단계 2 끝 멈춤 / 단계 3 끝 멈춤)이 나오니, 답은 두 확률의 합. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 먼저 더 단순한 "균등 (0,1) 두 개 합이 1을 넘을 확률" 을 작은 그림으로 풀고, 그다음 세 개 합으로 확장. 도구 #1(그림) — 단위 정사각형(두 변수 합)과 단위 정육면체 안의 사면체(세 변수 합)를 그려 확률을 면적·부피로 읽기. 도구 #16(관점 바꾸기) — 세 변수 합의 5/6 영역 대신 작은 사면체(보집합)의 1/6을 계산.

1STEP 1

두 경우로 나누기

멈추는 시점이 두 경우뿐입니다.

P(위치 ＞ 1) = P(T₂ ＞ 1) P(X₂ ＞ 1) + P(T₂ ≤ 1) P(X₃ ＞ 1)

2STEP 2

두 수의 합 확률

두 균등 수의 합이 1을 넘을 확률은 절반입니다.

P(u₁+u₂ ＞ 1) = 1/2

3STEP 3

첫 경우의 확률

두 확률을 곱합니다.

P(S1) = 1/2 · 1/2 = 1/4

4STEP 4

세 수의 합 확률

세 균등 수의 합은 거의 항상 1을 넘습니다.

P(X₃ ＞ 1) = 1 - 1/6 = 5/6

5STEP 5

둘째 경우의 확률

둘째 경우의 확률도 구합니다.

P(S2) = 1/2 · 5/6 = 5/12

6STEP 6

두 경우 더하기

더하면 3분의 2입니다.

1/4 + 5/12 = 8/12 = 2/3 → (C)

정답

2/3

수치 점검. 두 시나리오는 "Amelia 가 결국 멈춘다" 사건을 분할 — 규칙상 단계 3까지 가면 무조건 멈추니 분할 정확. 각 시나리오 확률이 음이 아니고 해당 멈춤 주변 확률 이하. 1/4 + 5/12 = 2/3 ≈ 0.667, (0,1) 안이며 1/2 보단 큼 (세 단계 가면 보통 1을 넘으니 일관). (C)와 일치. 다른 선택지는 흔한 오답: (B) 1/2는 단계 3의 더 큰 거리를 무시; (E) 5/6은 시간 조건 빼고 P(X₃ ＞ 1)만 본 것; (A) 1/3은 보집합 추측.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 멈춤 규칙이 "단계 2 멈춤" 과 "단계 3 멈춤" 두 경우로 깔끔히 나뉩니다. 첫 경우는 시간 합과 위치 합 모두 단위 정사각형 위 사건으로 각 1/2. 두 번째 경우의 세 균등변수 합이 1을 넘을 확률은 작은 사면체(보집합) 부피 1/6을 빼서 5/6. 더하면 1/4 + 5/12 = 2/3.